Основные сведения из алгебры логики

Логические основы ЭВМ

Теоретической основой построения ЭВМ служат специальные математические дисциплины. Одной из них является алгебра логики, или булева алгебра (Дж. Буль - английский математик XIX в., основоположник этой дисциплины). Ее аппарат широко используют для описания схем ЭВМ, их проектирования и оптимизации.

Вся информация в ЭВМ представляется в двоичной системе счисления. Поставим в соответствие входным сигналам отдельных устройств ЭВМ соответствующие значения , а выходным сигналам - значения функций ) (рис.14.1).

В этом случае зависимостями

( 14.2)

где -- й вход;

- число входов;

--й выход;

- число выходов в устройстве, можно описывать алгоритм работы любого устройства ЭВМ. Каждая такая зависимость является "булевой функцией, у которой число возможных состояний и каждой ее независимой переменной равно двум" (стандарт ISO 2382/2-76), т.е. функцией алгебры логики, а ее аргументы определены на множестве . Алгебра логики устанавливает основные законы формирования и преобразования логических функций. Она позволяет представить любую сложную функцию в виде композиции простейших функций. Рассмотрим наиболее часто употребляемые из них.

Рис. 14.1.Входные и выходные сигналы в схемах компьютера

Известно, что количество всевозможных функций от аргументов выражается зависимостью:

( 14.3)

При можно определить две основные функции (), не зависящие от каких-либо переменных: , тождественно равную нулю (), и , тождественно равную единице (). Технической интерпретацией функции может быть генератор импульсов. При отсутствии входных сигналов на выходе этого устройства всегда имеются импульсы (единицы). Функция может быть интерпретирована как отключенная схема, сигналы от которой не поступают ни к каким устройствам.

При зависимость (14.3) дает . Представим зависимость значений этих функций от значения аргумента в виде специальной таблицы истинности (табл. 14.4).

Таблица 14.4. Таблица функций от одной переменной

Таблицы истинности получили такое название, потому что они определяют значение функции в зависимости от комбинации входных сиг-налов. В этой таблице, как и ранее, и . Функция , а функция (инверсия ).

Этим функциям соответствуют определенные технические аналоги. Схема, реализующая зависимость , называется повторителем, а схема - инвертором.

При , т.е. от двух переменных можно построить шестнадцать различных функций. В табл. 14.5 представлена часть из них, имеющая фундаментальное значение при построении основных схем ЭВМ.

Таблица 14.5. Таблица функций от двух переменных

…

…

В левой части таблицы перечислены все возможные комбинации входных переменных (наборы значений), а в правой - возможные реак-ции выходных сигналов. В табл. 14.5 представлены функции , полностью соответствующие функциям табл. 14.4, а также новые, часто используемые и интересные функции . При этом местоположение функций и их нумерация в таблице особого значения не имеют. По данной таблице нетрудно составить аналитическое выражение (зависимость) для каждой функции от двух аргументов вида (14.2). Для этого наборы переменных, на которых функция принимает значение единицы, записываются как конъюнкции (логическое умножение) и связываются знаками логического сложения. Такие формы функций получили название дизъюнктивных нормальных форм (ДНФ). Если в этих функциях конъюнкции содержат все без исключения переменные в прямом или инверсном значениях, то такая форма функций называется совершенной.

Функция представляет собой функцию логического сложения, дизъюнкцию. Она принимает значение единицы, если значение единицы имеет хотя бы одна переменная или :

Тождественность приведенных аналитических зависимостей можно установить, пользуясь законами алгебры логики, приведенными ниже.

Функция является инверсной функцией по отношению к :

Она имеет название отрицание дизъюнкции. Иногда в литературе встречается ее специальное название "стрелка Пирса", по имени математика, исследовавшего ее свойства.

Функция является функцией логического умножения, конъюнкцией. Она очень похожа на операцию обычного умножения и принимает значение единицы в тех случаях, когда все ее переменные равны единице:

Функция является инверсной функцией по отношению :

Она называется отрицание конъюнкции или "штрих Шеффера".

Функция называется логической равнозначностью, она принимает значение единицы, если все ее переменные имеют одинаковое значение (или 0 или 1):

Функция является инверсной по отношению и называется не-равнозначностью:

Она принимает значение единицы, если ее переменные имеют противоположные значения. Функции и являются основой для построения сумматоров, так как они соответствуют правилам формирования цифр двоичных чисел при сложении и вычитании (табл. 14.2).

Из перечисленных функций двух переменных можно строить сколь угодно сложные зависимости, отражающие алгоритмы преобразования информации, которая представлена в двоичной системе счисления. Алгебра логики устанавливает правила формирования логически полного базиса простейших функций, из которых могут строиться любые более сложные. Наиболее привычным базисом является набор трех функций {инверсия - , дизъюнкция - , конъюнкция - или &}. Работа с функциями, представленными в этом базисе, очень похожа на использование операций обычной алгебры.

Алгебра логики устанавливает, что существуют и другие комбинации простейших логических функций, обладающих свойством логической полноты. Например, наборы логических функций {инверсия, дизъюнкция} и {инверсия, конъюнкция} также являются логически полными. Наиболее интересны минимальные базисы, включающие по одной операции {"отрицание дизъюнкции ()", {"отрицание конъюнкции ()"}или (&). Однако работа с функциями, представленными в указанных базисах, требует от специалистов по проектированию ЭВМ определенных навыков.