Метод Рунге-Кутта.

Модифицированный метод Эйлера.

Метод Эйлера-Коши.

Метод Эйлера-Коши – простейший одношаговый метод первого порядка для численного интегрирования дифференциальных уравнений. Он реализуется следующей рекуррентной формулой

y_i+1 = y_i +h×f(x_i,у_i), i = 0,1, … (6)

где h – шаг интегрирования (приращение переменной x), h = const.

Погрешность метода пропорциональна h².

Модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом второго порядка, реализуется следующими формулами

у_i+1 = y_i + h×f(x_i + h/2, у*_(i+1/2)),

у*_(i+1/2) = у_i +h×f(x_i, y_i)/2. (7)

Метод дает погрешность, пропорциональную h³_.

Метод Рунге-Кутта – одношаговый метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений, на котором построены разностные схемы разного порядка точности.

Двучленная формула имеет вид

y_i+I=y_i+p₂₁k_I+p₂₂k₂, (8)

где k_I=hf(x_i,y_i),

k₂=hf(x_i+a₂h; y_i+b₂₁k₁),

b₂₁=a₂,

p₂₂=-1/(2a₂),

p₂₁=I+p₂₂.

Для a₂=1

,

k₁ = f(x_i, y_i),

k₂ = f(x_i+1, y_i + h×k₁), (9)

x_i+1 = x_i + h.

Четырехчленная формула Рунге-Кутта

у_i+1 = у_i +1/6(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄),

k₁ = h×f(x_i, y_i),

k₂ = h×f(x_i + h/2, y_i + k₁/2), (10)

k₃ = h×f(x_i + h/2, y_i + k₂/2),

k₄ = h×f(x_i + h, y_i + k₃).