Постановка задачи.

Теоретические сведения.

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

Тема 3.

Выводы.

1) Точное значение. Значение интеграла, полученное методом Симпсона при шаге интегрирования h=1/8, I*» 2.1629034972.

2) Согласно оценке остаточного члена это значение не должно отличаться от точного значения более чем на R=2*10^-7.

Истинная погрешность составляет |I*-I|» 1.4*10^-7, что согласуется с полученной оценкой.

В зависимости от числа независимых переменных дифференциальные уравнения делятся на две группы:

· обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную;

· уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.

Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат, кроме независимой переменной, одну или несколько производных от искомой функции у. Их можно записать в виде

F( x, у, у', у", … , у(n) ) = 0, (1)

где x – независимая переменная.

Наивысший порядок n, входящей в уравнение производной, называется порядком дифференциального уравнения. Например, общий вид дифференциальных уравнений первого и второго порядков

F(x, у, у') = 0

F(x, y, y', y") = 0. (2)

В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения удается выразить старшую производную в любом виде. Например,

y' = f(x, y),

у" = f(x, у, у').

Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция у = j(x), которая после подстановки ее в уравнение, превращает его в тождество (верное равенство).

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка содержит и произвольных постоянных С₁, С₂, … , С_N, т.е. общее решение имеет вид:

у = j(x, C₁, C₂, … , C_N).

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной произвольной касательной

у = j (x, С).

Если постоянная принимает определенное значение C = С₀, то получим частное решение

у = j (x, С₀).

Исходя из геометрической интерпретации общего решения дифференциального уравнения первого порядка и из теоремы Коши имеем, что для выделения некоторого частного решения уравнения первого порядка достаточно задать координаты (x₀, у₀) произвольной точки на данной интегральной кривой.

Для дифференциального уравнения второго порядка необходимо задать два дополнительных условия, благодаря которым можно найти значения двух произвольных постоянных.

В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения существует два различных типа задач:

задача Коши;

краевая задача.

Дополнительные условия в задаче Коши задаются в одной точке x = x₀ и называются начальными условиями, а точка, в которой они задаются – начальной точкой.

Дополнительные условия для краевой задачи задаются в более или одной точке, обычно в двух точках x = а и x = b, являющихся границами области решения дифференциального уравнения, и называются граничными (краевыми) условиями.