Решение

1. Найдем точное значение интеграла:

Применим формулу интегрирования по частям:

Обозначим u=ln²(x); dv=xdx тогда du=2*(ln(x)/x)dx; v=x²/2, откуда

Применим еще раз формулу интегрирования по частям. Обозначим u=ln(x); dv=xdx тогда du=(1/x)dx; v=x²/2, откуда

I= 2.16290335793361….

2. Вычислим значение интеграла методом Симпсона.

В этом случае приближенное значение интеграла может быть рассчитано по формуле:

, где N=8 – число интервалов, на которое разбивается отрезок интегрирования.

Расчет интеграла проведем в среде табличного процессора Excel (файл “Задание2.xls”).

В столбец A будем заносить значение x(шаг интегрирования ), в столбце B – вычис­лять значение функции .

Ниже приведены формулы и значения, заноси­мые в столбцы A и B.

X	f(x)
	=A2*(LN(A2))^2
=A2+1/8	=A3*(LN(A3))^2
=A3+1/8	=A4*(LN(A4))^2
=A4+1/8	=A5*(LN(A5))^2
=A5+1/8	=A6*(LN(A6))^2
=A6+1/8	=A7*(LN(A7))^2
=A7+1/8	=A8*(LN(A8))^2
=A8+1/8	=A9*(LN(A9))^2
=A9+1/8	=A10*(LN(A10))^2
Сумма	=B2+B10+2*(B4+B6+B8)+4*(B3+B5+B7+B9)
Интеграл	=B11*1/24

 

В ячейке B12, таким образом, будет получено значение интеграла.

I*= 2.1629034972…

Погрешность метода – остаточный член оценивается по формуле:

Для оценки погрешности найдем производную четвертого порядка от f(x):

;

Оценивая f^IV на отрезке [2;3], получим |f^IV|<0.12.

Отсюда