Уточнение корня методом деления отрезка пополам.

Отделение корней.

Корень x* уравнения (1) считается отделенным на отрезке [a; b], если х*Î [а; b] и на этом отрезке данное уравнение не имеет других корней. Чтобы отделить корни уравнения (1), следует разбить область определения данного уравнения на отрезки, на каждом из которых содержится один и только один корень либо нет ни одного корня. Отделяют корни графическим и аналитическим методами, а также методом последовательного перебора.

Для отделения корней графическим методом строят график функции y=f(х) и находят точки пересечения графика с осью абсцисс и концы отрезков изолированного корня.

Алгоритм отделения корней уравнения (1) можно сформулировать так:

1. Найти область определения уравнения.

2. Найти критические точки функции f (х).

3. Записать интервалы монотонности функции f (x).

4. Определить знак функции f(х) на концах интервалов монотонности.

5. Определить отрезки, на концах которых функция f(х) приобретает значения противоположных знаков.

6. Найденные отрезки изоляции корней при необходимости сузить.

Метод деления отрезка пополам (или метод дихотомии) применяется для уточнения корня уравнения f (x)=0 с наперед заданной точностью.

За начальное приближение выбираем середину отрезка [a; b]

. (2)

Проводим исследование значения функции на концах отрезков [a; ] и [;b]. Искомый корень находится в том отрезке, на концах которого функция приобретает значение противоположных знаков. За новое приближение выбираем середину нового отрезка

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто выполнение условий:

. (3)