Матрицы. Операции над матрицами

Пункт формулы включает признаки изобретения, в том числе название, с которого начинается изложение формулы, и состоит из ограничительной части, включающей признаки изобретения, совпадающие с признаками наиболее близкого аналога, и отличительной части, включающей признаки, которые отличают изобретение от наиболее близкого аналога. После изложения ограничительной части вводится словосочетание «отличающийся тем, что».

Независимый пункт формулы изобретения относится только к одному изобретению и характеризует изобретение совокупностью его признаков, определяющей объем испрашиваемой правовой охраны.

Зависимый пункт формулы изобретения содержит развитие и/или уточнение совокупности признаков изобретения, приведенных в независимом пункте, признаками, характеризующими изобретение лишь в частных случаях его выполнения или использования.

Эквивалентные признаки изобретения – взаимозаменяемые признаки изобретения при решении конкретной задачи, совпадающие по выполняемой функции и достигаемому результату, но отличающиеся по форме.

Прямоугольной матрицей размера () называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

(4.1)

или сокращенно в виде . Числа , составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы и одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть , если.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера , все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть , то матрицу называют квадратной порядка . Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой :

.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком наверху.

Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

_,

которая будет транспонированной по отношению к матрице . В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением матрицы на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы умножением на число l: .

Суммой двух матриц и одного размера называется матрица того же размера, элементы которой определяются по формуле.

Произведение матрицы на матрицу определяется в предположении, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .

Произведением двух матриц и , где , заданных в определенном порядке , называется матрица , элементы которой определяются по следующему правилу:

. (4.2)

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы на соответствующие элементы k-го столбца матрицы .

Пример 2.1. Найти произведение матрици .

Решение. Имеем: матрица размера , матрица размера , тогда произведение существует и элементы матрицы равны

, , ,

, , .

, а произведение не существует.

Пример 2.2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины , и , причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин стоит 50 ден. ед., в магазин ‑ 70, а в ‑ 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод	Магазин

Решение. Обозначим через матрицу, данную нам в условии, а через ‑ матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

,.

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

.

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй ‑ 3680 ден.ед.

Пример 2.3. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором . Используются ткани четырех типов ,,,. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор ‑ стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

Изделие	Расход ткани
Зимнее пальто
Демисезонное пальто
Плащ

 

1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана ?

2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.

3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.

4. Подсчитать стоимость всей ткани с учетом ее транспортировки.

Решение. Обозначим через матрицу, данную нам в условии, т. е.,

,

тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно векторумножить на матрицу :

Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицуи вектор :

.

Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:

Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина

.

Итак,X (ден. ед).