Положение уровня Ферми и концентрация свободных носителей в полупроводниках

Одним из основных параметров, характеризующих газ свободных носителей в полупроводниках, является химический потенциал m.. В применении к электронному и дырочному газу его называют обычно уровнем Ферми.

В металлах уровень Ферми яв­ляется последним заполненным уровнем в зоне проводимости. Концентрация электронного газа в металлах сравнима по порядку величины с числом состояний в зоне проводимости. Поэтому этот газ является вырожденным и распределение электронов по состояниям описывается квантовой ста­тистикой Ферми - Дирака. Концентрация электронов такого газа практически не зависит от температуры.

В собственных и слаболегированных полупроводниках электронный (дырочный) газ является невырожденным и распределе­ние электронов по состояниям описывается классической статистикой Максвелла-Больцмана. Для таких полупроводников концентрация свободных носителей (n – электронов и р – дырок) зависит от положения уровня Ферми и темпера­туры Т:

(4.24)

, (4.25)

где m_n, m_p – эффективная масса электронов и дырок.

 

 

Рисунок 4.13

Из (4.24) и (4.25) видно, что чем больше расстояние зоны от уровня Ферми, тем ниже концентрация носителей, т.к. µ<0 и µ′<0.

Произведение пр для данного полупроводника является постоянной величиной и равно

(4.26)

В собственных полупроводниках концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне равны. Поэтому приравнивая правые части (4.24) и (4.25) и решая относительно µ, получаем:

(4.27)

При абсолютном нуле , т.е. уровень Ферми расположен посредине запрещенной зоны, а при повышении смещается вверх, если m_p>m_n (линия 2 на рис. 4.14) и вниз, если m_p<m_n (линия 3 на рис. 4.14). Поскольку это смещение несущественно, то в собственных полупроводниках принимают, что уровень Ферми располагается посредине запрещенной зоны (линия 1 на рис. 4.14).

 

 

Рисунок 4.14

 

В примесных полупроводниках изменение положения уровня Ферми в зависимости от температуры показано на рисунке 4.15 (а – для полупроводников n – типа, б - для полупроводников р – типа).

В области низких температур (левая часть зоны 1) средняя энергия тепловых колебаний решетки kT ниже E_g, поэтому переброса электронов из валентной зоны в зону проводимости практически не происходит. В то же время для перехода электронов с донорных уровней в зону проводимости и дырок с акцепторных уровней в валентную зону требуется энергия ≈ 0,01Е_g – энергия активации примесей. Поэтому в области низких температур возбуждаются в основном только примесные носители и уровень Ферми находится между Е_Д и Е_С в полупроводниках n-типа и Е_А и Е_V в полупроводниках р-типа.

 

 

Рисунок 4.15

При повышении температуры примесные уровни постепенно начинают истощаться (правая часть зоны 1 и левая часть зоны 2). При полном истощении примесных уровней концентрация электронов в зоне проводимости (рис. 4.15 а) и дырок в валентной зоне (рис. 4.15 б) становится практически равна концентрации примеси (n≈N_Д; р≈N_А). При этом уровень Ферми начинает уменьшаться. Температура истощения примесей Т_S возрастает с увеличением N_Д (N_А) и энергии активации Е_С (Е_А). При Т_S уровень Ферми становится равным Е_Д (Е_А). Для германия, содержащего N_Д = 10²² м^-3, температура T_S≈30 К.

При дальнейшем повышении температуры (правая часть зоны 2) постепенно начинают возбуждаться собственные носители и уровень Ферми приближается к положению в собственном полупроводнике. Переход к собственной проводимости наступает при температуре T_i. Эта температура тем выше, чем больше концентрация примесей и Е_g. Для германия, содержащего N_Д = 10²² м^-3, температура T_i≈450 К.

Выше температуры T_i уровень Ферми в примесном полупроводнике совпадает с собственным полупроводником и количе­ственно описывается формулой (4.27).

Отметим, что в отличие от собственных полупровод­ников, в которых проводимость осуществляется одновременно элек­тронами и дырками, в примесных полупроводниках проводимость обуславливается в основном носителями одного знака: электронами в полупроводниках донорного типа и дырками в полупроводниках акцепторного типа. Эти носители называют основными.

Помимо них полупроводники всегда содержат и неосновные носи­тели: донорный полупроводник — дырки, акцепторный полупровод­ник — электроны.