Теплопроводность твердых тел

В ходе изложения теории Эйнштейна и Дебая мы пришли к квантованию упругих волн в кристалле (т.е. их энергий). Энергия упругой волны с круговой частотой не может иметь произвольных значений. Она должна быть равна целому числу порций . Эта минимальная порция называется квантом, а переносящая волна - фононом. Волны ведут себя в микромире как частицы, в частности, в процессах обмена энергии. Например, теплопроводность удобнее всего описывать на языке рассеяния фононов (на фононах, на дефектах, на электронах). Так что тепловая энергия может передаваться в кристаллах фононами, свободными электронами, электронно-дырочными парами и экситонами.

Нас интересует передача фононами и электронами.

Электронная компонента является доминирующей. В неметаллах большая часть теплового потока переносится колебаниями решетки, т.е. фононами. Когда имеется температурный градиент теплопроводность можно выразить уравнением Фурье:

(1) (- каппа)

- количество теплоты, переносимое через единичную площадку потоку за единицу времени;

- коэффициент теплопроводности.

Если его можно выразить через микроскопические характеристики фононов, воспользовавшись теорией теплопроводности идеального газа.

По этой теории

(2)

- удельная теплоемкость (отнесенная к единице объема V);

- скорость движения молекул;

- среднее значение свободного пробега фононов, уподобившихся молекуле идеального газа. Тогда

- теплопроводность решетки для единичного объема кристалла, которая является мерой плотности фононов;

- скорость побега фононов;

- средняя длина свободного пробега фононов.

Длина пути, пройденная фононом с момента его рождения до исчезновения, сильно зависит от его энергии. Для любого распределения фононов всегда можно найти среднюю длину свободного пробега.

Для предплавильных температур может уменьшаться до 6 - 10 межатомных расстояний, зато при низких температурах может достигать 1 мм.

Общий вид температурной зависимости коэффициента теплопроводности можно представить на рисунке:

При низких температурах зависит линейно, но в области высоких температур линейность уменьшается.

Фононы рассеиваются на дефектах: точечных, линейных, на границах зерен.

Также происходит рассеяние фононов и на разупорядоченном сплаве.

Рассеяние фононов на всех этих дефектах может привести к значительным изменениям и т.п. Так в кристаллах плохого качества остается малой при всех температурах. В очень хороших кристаллах растет и при охлаждении, стремится к насыщению при низких температурах. Величина при низких температурах определяется распределением дефектов.

Экспериментальные исследования подтверждают, что зависит от геометрических размеров образца, от изотропного состава. Эксперимент показывает, что теплопроводность сплава значительно меньше любого из исходных материалов.

49. Ангармонические эффекты. Тепловое расширение твёрдых тел.

В теории теплоёмкости Дебая тепловые колебания атомов в узлах решётки в целях упрощения рассматриваются как гармонические. Но есть такие свойства твёрдых тел, которые определяются фононным спектром, но их не удаётся объяснить гармоническими колебаниями, например – эффект термического расширения твёрдых тел.

Силы, действующие между атомами, подчиняются линейному закону Гука.

Кривая зависимости потенциальной энергии имеет явно выраженный асимметричный характер. При сближении атомов энергия сил отталкивания возрастает быстрее, чем энергия сил притяжения при соответствующем удалении атомов.

С увеличением амплитуды тепловых колебаний атомов в кристалле минимальное расстояние между атомами уменьшается, а максимальное увеличивается. По зависимости U(r) видно, что при удалении атомов межатомное расстояние увеличивается на большую величину, чем его уменьшение при сближении атомов. Колебания атомов в узлах крист. решётки являются ангармоническими. Среднее положение колебаний частицы не будет совпадать с r₀, а будет сдвигаться вправо, достигнув значения r₁. При повышении температуры частица перейдёт на более высокий энергетический уровень, и середина колебаний становится r₂. При повышении температуры расстояние между узлами увеличивается. Происходит термическое расширение кристалла.

С повышением температуры увеличивается амплитуда тепловых колебаний. В выражении потенциальной энергии осциллятора появляются члены более высокого порядка:

U= –cx²+gx³–… (1)

с – коэффициент упругости, g – коэффициент ангармоничности, описывающий асимметрию взаимного притяжения и отталкивания атомов, колеблющихся около узла кристаллической решётки. Рассмотрим линейную цепочку. Среднее смещение атомов от положения равновесия рассчитаем, пользуясь функцией распределения Больцмана (), с помощью которой усреднение какой-либо физической величины производится в соответствии с их термодинамическими вероятностями

(2)

В случае малых смещений энергия, связанная с ангармоничностю мала и поэтому ангармоничный экспоненциальный множитель можно разложить в ряд , тогда

(3)

(4)

(5)

Найденное значение среднего смещения приходится на одно межатомное расстояние. Оно характеризует и относительное удлинение цепочки атомов.

В расчете на 1 К (6)

α – коэффициент термического расширения.

Из формулы 6 выходит, что α не зависит от температуры, и α=0 при симметричном потенциале. α тем больше, чем сильнее гармоническая связь. Однако, опыт показывает, что α зависит от температуры. Для метало с кубической решёткой эта зависимость имеет простой вид вплоть до Т_пл.

Дело в том, что найденная величина α не зависит от температуры по той причине, что мы пользовались классическим множителем Больцмана. Если его заменить на квантово-механический , то получили бы формулу, которая показывает зависимость α от Т и при понижении Т α стремится к нулю.