Дебаевская теория теплоемкости кристаллической решетки. Вывод формулы.

Модель Эйнштейна недостаточно полно описывает тепловые движения решетки при очень низких температурах. Один из основных недостатков модели Эйнштейна это то, что он не учитывает различные значение колебания атомов в узлах кристаллической решетки. Каждый атом, колеблясь, смещается относительно своих соседей в решетке, т.о. влияет на поведение своих соседей. При λ>>а большинство колеблются когерентно, но весь кристалл не может колебаться когерентно, тем более разные атомы колеблются с разными частотами.

Дебай, учитывая эти обстоятельства, разработал новую теорию.

Предположение Эйнштейна, что все N атомов осциллятора имеют одну и ту же частоту является чрезмерно упрощенной. Дебай предположил, что акустический спектр твердого тела из одинаковых атомов можно трактовать как спектр однородно упругой среды, но считать при этом число независимых упругих волн также должно = 3N

Дебай предполагает, что обычная скорость звука распространяется в кристалле при акустических частотах – можно считать равной предельной частоте.

(1)

полная энергия колебания

(2)

Определить истинную плотность состояний g(ω) реального кристалла сложно.

Уравнение (2) решили Борн и Карнан.

Дебай предложил, что можно получить полезный результат, если выразить g(ω)через фазовую скорость.

-скорость звука

Этот вывод осуществляется по уравнению (1)

В кристалле распространяется 2 рода волн: продольные и поперечные.

В целях облегчения задачи вычислим вклад в теплоемкость тела только продольных упругих волн в рамках модели Дебая.

Если кристалл состоит из N атомов равных из N продольных волн. Каждая волна характеризуется вектором k, тогда внутреннюю энергию системы можно определить как сумму энергий осцилляторов Эйнштейна (9).

Каждый член этой суммы соответствует колебанию с частотой ω_k.

(3)

, где - скорость распространения продольной волны.

(4)

, тогда (4) мы должны заменить интегралом по всему 3-х - мерному пространству векторов k.

(5)

Для вычисления (5) надо знать вид функции S(k). Функция S(k) определяется из граничных условий. Граничные условия, при которых вычислить S(k) проще всего - периодические условия. Согласно им колебательные движения в т. x,y,z должны быть точно таким же, что и в т. .

Где - некоторая макроскопическая длина.

Если кристалл имеет форму куба, то в качестве можно взять ребро куба. Т.о. периодические граничные условия требуют, чтобы имело место тождество

(6)

Общее решение (6), тогда (7)

Где l,m,n - "+" или "—" целые числа.

Т.о. периодические граничные условия сводятся к требованию, чтобы были целыми числами.

Значение k изображено в виде точек (целочисленных).

В k пространстве получается, как бы, элементарная ячейка.

Объем каждой элементарной ячейки .

В эту э/я приходится одно состояние.

Вывод формулы.

Плотность состояний во всем объеме k - пространства

(8)

Плотность состояний зависит от V кристалла.

Используя полученное выражение для плотности состояний, для внутренней энергии, имеем формулу

(9)

Если мы перейдем к сферическим координатам в k - пространстве, получим

(10)

Верхний предел интеграла можно определить. Это можно выяснить из условия, что полное число собственных продольных колебаний = N, т.е. в дебаевском приближении мы учитываем лишь те значения k, для которых отношение равняется целому числу внутренней сферы k - пространства, имеющей радиус