Колебательные моды линейной одноатомной цепочки.

Закон дисперсии. Вывод уравнения дисперсии.

Одноатомной решетка – кристалл, кот. состоит из атомов одного сорта. В целях упрощения рассмотрим линейную одноатомную цепь. Для простоты рассмотрим распределение упругой продольной волны вдоль линейной цепи, состоящей из одинаковых атомов. Через V обозначим смещение атома от положения равновесия в некоторый момент времени. Запишем уравнение плоской волны:

(1)

А - амплитуда колебаний частиц участвующих в волновом процессе;

- волновой вектор (); - угловая (циклическая) частота.

Атомы, имеющие массу m, расположены на расстоянии, а друг от друга. Для этой последовательности смещение атомов V, создаваемое волной, имеет смысл только в точках расположения атомов и не имеет смысла в промежуточных точках. Поэтому, смещение r-го атома записывается

Если мы продифференцируем по времени 2 раза, то получим ускорение r-го атома: (3)

Тогда, исходя из 2-го закона Ньютона, мы можем записывать выражение для возвращающей силы (упругой силы):

Наша задача: мы должны найти закон дисперсии.

Дисперсия - разложение света по спектрам. Почему разлагается спектр?

Т. к. Белый свет не монохроматичный.

.

Для получения закона дисперсии, т.е. зависимости от к, надо выразить возвращающую силу через силовую постоянную, характеризующую смещение атомов в кристаллической решетки. В этих целях линейную цепочку атомов представим в виде связанных упругими пружинами:

В этой модели возникающая при растяжение и сжатие пружин возвращающая сила, действующая на атом линейно, зависит от расстояния до ближайших атомов. Действительно в большинстве твердых тел в случае малых деформаций выполняется закон Гука, тогда выражение для возвращающей силы будет иметь вид:

Сравнивая этот результат с выражением (4) получаем

Сюда подставим выражение (2)

Получили дисперсионное уравнение для продольных волн, распространяющихся вдоль линейной одноатомной цепочки, где учитывалось взаимодействие только с ближайшими соседями

Здесь знаки «+» и «-» соответствуют волнам, распространяющимся в противоположных направлениях от r-го атома.