Общая формула передачи графа

Передачей графа Т_ок наз. отношение сигнала в узле Х_к к сигналу в узле-источнике Х₀:

Т_ок=Х_к/X_o

Если источником является независимая переменная, то сигнал в любом узле Х_к =Т_окХ_о. В этом разделе дадим вывод формулы для определения Т_ок. Имеем граф.

Рис.3.9.

 

Исходя из рис 3.9, можно записать для каждого из узлов уравнения.

 

Х₁=T_o1X_o+T₁₁X₁=T₂₁X₂+T₃₁X₃

X₂=T₁₂X₁+T₂₃X₃+T₂₂X₂

X₃=T₃₃X₃+T₁₃X₁+T₂₃X₂

 

Граф имеет три узла, но в общем случае их может быть сколь угодно. Таким образом, решение может быть получено, если составить и решить матрицу состояния. В первую очередь необходимо найти определитель системы через передачи графа, который в дальнейшем будем называть определителем графа.

Определитель графа равен алгебраической сумме слагаемых, включающих единицу, передачи всех контуров и всевозможных произведений передач, не касающихся контуров по два, по три и т.д. Знак каждого произведения определяется множителем (-1)^к, где К- количество контуров в данном произведении. Это определение можно выразить следующим образом

Δ=((1-L₁)(1-L₂) ….(1-L_n))^*

Здесь L₁, L ₂ ….- передачи всех контуров графа. Звездочка означает, что после перемножения выражений в круглых скобках необходимо исключить из результата все сомножители, содержащие произведения передач касающихся контуров.

Покажем это, используя полученный раннее граф. Граф (рис.3.8) имеет три контура:

 

,

 

Контуры L₁ и L₂ равно, как и контуры L₂ и L₃ , попарно касаются друг друга. Поэтому

Δ=1+(-1)¹(L₁+L₂+L₃) +(-1)²L₁L₃

Произведения L₁L₂, L₂L₃, L₁L₂L₃ исключены, так как в них входят касающиеся друг друга контура. После подстановки передач ветвей получим:

 

 

Обратим внимание на одно обстоятельство, которое принимаем без доказательства . Если пользоваться общими правилами составления графов, то для пассивных линейных цепей передачи всех контуров будут иметь отрицательный знак. Так как при нечетном числе контуров в произведении знак из-за множителя (-1)^* так же должен быть изменен на противоположный, в определителе не могут появиться отрицательные слагаемые.

Таким образом, при вычислении передачи графа удобно пользоваться следующим правилом. Составив граф, выявляют его контуры и находят знаменатель-определитель графа. В числитель записывают сумму передач всех имеющихся путей Р_к от узла-источника к узлу, сигнал в котором определяется. Каждую из этих передач умножают на знаменатель (определитель графа), в котором полагают нулю передачи контуров, которых данный путь касается.

Сомножители передач путей условимся называть алгебраическими дополнениями путей и обозначим их символом Δ_к. Общая формула передачи графа примет при этом окончательный вид

 

,