Непрямые (косвенные) правила выводов
А В
B
A
Прямые правила вывода
Правила дедуктивных выводов в логике высказываний
С помощью правил вывода устанавливается зависимость логической структуры заключения от логической структуры посылок. В простейшем случае правило вывода можно записать в виде схемы, которая состоит из двух частей (верхней и нижней), разделенных горизонтальной чертой; причем над чертой в столбец будем выписывать логические схемы посылок, а под ней – заключения.
Схема правила вывода, в котором посылки имеют вид A1 ,A2 ,A3 , ... , An, а заключение – B, т.е.:
A1
A2
A3
...
An
-----------------
B
читается: «Из посылок вида A1, A2, A3 , ... , An можно (разрешено) выводить заключение B».
Правила дедуктивных выводов логики высказываний подразделяются на основные и производные. Основные правила являются более простыми. Их перечень можно составить так, чтобы, во-первых, они были содержательно очевидными (для этой цели можно воспользоваться определениями логических союзов), во-вторых, образованная из них система определяла бы все возможные правила выводов логики высказываний, т.е. чтобы система удовлетворяла требованию полноты. В рамках современной логики доказано, что для логики высказываний такая система правил существует.
Производные правила выводятся из основных правил. В сущности их можно признать излишними, так как можно обойтись и без них. Но их введение в систему зачастую сокращает процесс вывода. Производные правила, таким образом, играют вспомогательную роль.
Как основные, так и производные правила, в свою очередь, делятся на прямые и непрямые (косвенные). Прямыеправила вывода указывают на выводимость некоторых высказываний из других высказываний (заключений из посылок). Непрямые (косвенные) правила выводов дают возможность заключать о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов. Сначала рассмотрим основные прямые правила.
Правило введения конъюнкции (сокращенно ВК):
------------
A Ù B
Это простое правило устанавливает, что два принятых за истинные высказывания можно соединить знаком конъюнкции, и полученное сложное высказывание также разрешается принять. Например:
Подул ветер.
Пошел дождь.
----------------------------------------
Подул ветер, и пошел дождь.
Правило удаления конъюнкции (УК):
| A Ù B ---------- | A Ù B ----------- |
| A | B |
Правило УК устанавливает, что из конъюнкции принятых высказываний можно вывести любое высказывание, являющееся ее членом.
Примеры выводов по правилу УК:
Каждый студент сдает экзамены и зачеты.
-----------------------------------------------------------
Каждый студент сдает экзамены.
Каждый студент сдает экзамены и зачеты.
------------------------------------------------------------
Каждый студент сдает зачеты.
Нетрудно видеть, что правила ВК и УК согласуются с определением конъюнкции, данном на стр. (?)
Правило введения слабой дизъюнкции (ВД):
---------- ---------
A Ú B A Ú B
Правилом ВД устанавливается, что из принятого за истинное высказывания со структурой A (соответственно B) можно выводить дизъюнктивное высказывание вида A Ú B.
Пример вывода по правилу ВД:
Иванов читает газету.
-------------------------------------------------------------------------
Иванов читает газету или размышляет о текущих событиях.
Правило удаления слабой дизъюнкции (УД):
| A Ú B | A Ú B | |
| ØA | ØB | |
| B | A |
С помощью правила УД устанавливается, что из принятого дизъюнктивного высказывания со структурой AÚB и отрицания одного из его членов можно выводить второй его член.
Пример вывода по правилу УД:
Ошибся защитник или вратарь.
Вратарь не ошибся.
---------------------------------------------
Ошибся защитник.
В традиционной логике умозаключения, соответствующие правилу УД, называются разделительно-категорическими силлогизмами.
В разделительно-категорическом силлогизме одна из посылок – разделительное высказывание (слабая дизъюнкция), другая – категорическое, т.е. принимаемое без всяких условий и альтернатив. Последнее, в соответствии с правилом УД, отрицает одну из альтернатив, фиксируемых первой посылкой. Число этих альтернатив может быть больше двух.
Правила ВД и УД согласуются с определением слабой дизъюнкции.
Правило удаления импликации (УИ):
A ® B
А
--------------
В
Правило УИ разрешает при наличии принятой импликации вида A®B и ее антецедента A выводить консеквент B.
Пример вывода по УИ:
Если стоит туманная погода, то аэропорт закрывается.
Стоит туманная погода.
-------------------------------------------------------------------------
Аэропорт закрывается.
В традиционной логике умозаключения по правилу УИ называются условно-категорическими силлогизмами утверждающего модуса (латинское название – modus ponens). В них выводится следствие условного высказывания при условии истинности его основания.
Правило введения эквиваленции (ВЭ):
A ® B
B ® A
---------------
A « B
Правило ВЭ разрешает из принятого за истинное импликативного высказывания со структурой A®B и обратного по отношению к нему высказывания B®A можно выводить и принимать за истинное высказывание эквивалентности A«B.
Пример вывода по ВЭ:
Если монета выпадает орлом, то она не выпадает решкой и не становится на ребро.
Если монета не выпадает решкой и не становится на ребро, то она выпадает орлом.
-------------------------------------------------------------------------
Монета выпадает орлом тогда и только тогда, когда она не выпадает решкой и не становится на ребро.
Правило удаления эквиваленции (УЭ):
A « B A « B
------------- ------------
A ® B B ® A
Правило УЭ устанавливает, что из принятого за истинное высказывания эквивалентности вида A«B можно выводить и принимать за истинное как импликативное высказывание вида A®B, так и обратное ему импликативное высказывание B®A.
Примеры построения выводов по правилу УЭ:
Высказывание p Ù q истинно тогда и только тогда, когда p истинно и q истинно.
-------------------------------------------------------------------------
Если высказывание p Ù q истинно, то p истинно и q истинно.
Высказывание p Ù q истинно тогда и только тогда, когда p истинно и q истинно.
-------------------------------------------------------------------------
Если p истинно и q истинно, то высказывание p Ù q истинно.
Правило введения двойного отрицания (ВДО):
A
-----------
ØØA
Правило ВДО устанавливает, что из высказывания вида A можно выводить это же дважды отрицаемое высказывание.
Пример применения правила ВДО:
Этот студент учится на экономическом факультете.
-------------------------------------------------------------------------
Неверно, что этот студент не учится на экономическом факультете.
Правило удаления двойного отрицания (УДО):
Согласно правилу УДО из дважды отрицаемого высказывания вида A можно выводить высказывание вида A.
Пример вывода по правилу УДО:
Неверно, что это число не простое.
--------------------------------------------------
Это число простое.
Теперь перейдем к рассмотрению основных косвенных (непрямых) правил. Напомним, что ими устанавливается следующее: если могут быть построены такие-то и такие-то выводы, то может быть построен и такой-то вывод. Как увидим, специфическим свойством косвенных правил вывода является использование положений, которые являются добавочными допущениями.
Начнем с правила введения импликации (ВИ):
П (множество посылок)
---------------------------------------------
A (доб. допущение)
………
B
----------------------------
A® B
(При записи ВИ и некоторых других правил мы будем использовать квадратные «горизонтальные» скобки, в которых для получения вывода помещаются добавочные допущения и следствия из них. Находящиеся в скобках выражения – это, образно говоря, строительные леса, которые можно убрать после построения вывода.) Правило ВИ устанавливает, что если на основании множества посылок П (возможно, пустого) и добавочного допущения A мы получим некоторое B в качестве следствия, то можно заключить о выводимости из П импликации A®B. Данное правило обобщает опыт умозаключений, многократно встречающихся в нашей умственной деятельности. Рассмотрим следующий пример.
Даны высказывания (посылки):
1. Если в данной местности увеличивается количество кошек, то уменьшается количество полевых мышей (p ® q).
2. Если в данной местности уменьшается количество полевых мышей, то увеличивается количество ос (q ® r).
3. Если в данной местности увеличивается количество ос, то создаются более благоприятные условия для повышения урожая клевера (r ® s).
Если ввести добавочное допущение «В данной местности увеличивается количество кошек» (p), то, используя трижды правило УИ, сначала можно из p®q и p вывести q, затем из q®r и q получить r и из r®s и r получить s. Применение правила ВИ дает основание получить из множества взятых посылок импликацию p®s:
«Если в данной местности увеличивается количество кошек, то создаются более благоприятные условия для повышения урожая клевера».
Второе основное непрямое правило называется правилом сведения к абсурду (СА):
П (множество посылок)
-------------------------------------------
A (допущение)
………
В
ØВ
------------------------------------------
ØA
Правило СА устанавливает, что если при посылках П (их множество, как и при ВИ, может быть пустым) и добавочном допущении A получаются два противоречащих друг другу высказывания B и ØB, то данное допущение должно быть отвергнуто как ложное и признано, что из П выводится отрицание допущения – ØA.
Если к посылкам в предыдущем примере присоединить добавочное допущение pÙØs, то применив к нему правило УК, а затем, трижды правило УИ, мы получим два противоречивых утверждения – Øs и s. Следовательно, в соответствии с правилом СА, из посылок выводится заключение:
«Неверно, что в данной местности увеличивается количество кошек, но не создаются благоприятные условия для повышения урожая клевера».
Таким образом, правило СА также соответствует естественному ходу рассуждений.
С помощью названных основных правил можно получать производные правила. При изложении выводного процесса, в результате которого получается то или иное правило, напротив каждой строки условимся указывать, на основании чего мы к этому правилу приходим. Например, запись:
A « B (УИ: 2, 4)
будет означать, что шестая строка с выражением A«B получается на основании правила удаления импликации, примененного к выражениям, находящимся во второй и четвертой строках. Большую часть работы по выведению производных правил мы предоставим самому читателю в качестве упражнений. За образец возьмем следующее правило:
A ® B
ØB
--------------
ØA
Это правило можно вывести так:
1. A ® В (посылки)
2.ØB
3. A (допущение)
4. B (УИ: 1, 3)
5. ØA (СА: 2, 4)
В традиционной логике выводы по этому правилу называются условно-категорическими силлогизмами отрицающего модуса, (латинское название - modus tollens. В них выводится отрицание основания условного суждения, если истинно отрицание его следствия.
Перечислим наиболее употребительные производные правила:
Правила отрицания слабой дизъюнкции:
Ø(A Ú B) ØA Ù ØB
------------- -------------
ØA Ù ØB Ø(A Ú B)
Правила отрицания конъюнкции:
Ø(A Ù B) ØA Ú ØB
------------- -------------
ØA Ú ØB Ø(A Ù B)
Правило контрапозиции:
A ® B
--------------
ØB ® ØA
Правила взаимосвязи дизъюнкции и импликации:
A ® B ØA Ú B
------------- -------------
ØA Ú B A ® B
Правила отрицания импликации:
Ø(A ® B) A ÙØB
------------- -------------
A Ù Ø B Ø(A ® B)
Правило сложной контрапозиции:
(A Ù B) ® C
-----------------------
(A Ù ØC) ® ØB
Правило импортации:
A ® (B ® C)
--------------------
(A Ù B) ® C
Правило экспортации:
(A Ù B) ® C
---------------------
A ® (B ® C)
Правило «рассуждения по случаям»:
A Ú B
A ® C
B ® C
-------------
C
Правило конструктивной дилеммы:
A ® B
C ® D
A Ú C
------------
B Ú D
Правило деструктивной дилеммы:
A ® B
C ® D
ØB Ú ØD
-----------------
ØA Ú ØC
Правила конструктивной и деструктивной дилеммы используются при построении разделительно-условных силлогизмов. По правилу конструктивной дилеммы происходит переход от утверждения альтернатив как оснований условных высказываний к утверждению дизъюнкции их следствий, а по правилу деструктивной – от дизъюнкции отрицаний следствий к дизъюнкции отрицаний оснований.
Правила выводов находятся в однозначном соответствии с логическими законами. Всегда можно определить и сформулировать логический закон, соответствующий тому или иному правилу вывода. Так, правило, по которому получено заключение «Если неверно, что завтра воскресенье, то неверно, что сегодня суббота», на основании посылки «Если сегодня суббота, то завтра воскресенье» можно сформулировать следующим образом: «Из высказываний вида A®B можно выводить высказывание вида ØB®ØA». Ему соответствует логический закон (A®B)®
(ØB ®ØA).
Упражнения:
1. Являются ли следующие выводы дедуктивными:
a) Если спутник Земли пролетает над Минском, то он пролетает над Беларусью. Следовательно, неверно, что спутник Земли пролетает над Минском и не полетает над Беларусью.
b) Неверно, что тело подвергается трению и оно не нагревается. Следовательно, если тело не нагревается, то оно не подвергается трению.
c) (p Ú q) Ù (Øp ® q) ® Ø(Øp Ù Øq).
2. Докажите следующие производные правила выводов:
a) отрицание дизъюнкции (прямое и обратное);
b) отрицание конъюнкции (прямое и обратное);
c) контрапозиции;
d) взаимосвязи дизъюнкции и импликации (прямое и обратное);
e) отрицание импликации (прямое и обратное);
f) сложной контрапозиции;
g) импортации;
h) экспортации;
i) рассуждения по случаям;
j) конструктивной дилеммы;
k) деструктивной дилеммы.
3. Древнеармянский философ Давид Анахт (Непобедимый) писал: «Аристотель в каком-то своем наставлении, в котором побуждает юношей к занятию философией, говорит следующее: если отрицается философия, то это самое [отрицание] уже есть философия; если же философия признается, то это [признание также] есть философия; значит, и в одном и в другом случае философия существует» (Давид Анахт. Определение философии). Выявите логическую форму приписываемого Аристотелю рассуждения. Соответствует ли оно правилу дедуктивного вывода логики высказываний?
4. Применяя дедуктивные правила логики высказываний, выведите заключение из следующих посылок:
a) Если он автор этого слуха, то он глуп или беспринципен. Но он не глуп и не лишен принципов.
b) Если он не храбр или на него нельзя положиться, то он не принадлежит к нашей компании. Но он принадлежит к нашей компании.
c) Если подозреваемый совершил эту кражу, то она была тщательно подготовлена, и он имел соучастника. Если бы кража была подготовлена тщательно, то, если бы был соучастник, украдено было бы гораздо больше. Но последнее не имеет места.
d) Если я пойду завтра на первое занятие, то должен буду встать рано, а если я пойду сегодня вечером в кино, то лягу поздно спать. Если я лягу поздно, а встану рано, то буду довольствоваться пятью часами сна. Но я не могу довольствоваться пятью часами сна.
e) В бюджете возникнет дефицит, если и только если не повысят пошлины. Государственные расходы на социальные нужды сократятся, если и только если в бюджете имеется дефицит. Пошлины повысят.
f) Если цены высоки, то и заработная плата высока. Цены высоки или применяется регулирование цен. Если применяется регулирование цен, то нет инфляции. Наблюдается инфляция.
g) (По Льюису Кэрроллу). Если он пойдет в гости, то он причешется. Если он не будет опрятным, то не будет элегантно выглядеть. Если он курит опиум, то он не может владеть собой. Если он причешется, то будет выглядеть элегантно. Он наденет белые лайковые перчатки только в том случае, если он пойдет в гости. Если он не владеет собой, то будет выглядеть неопрятно.
5. Применяя правила выводов логики высказываний, установите, требование какого из логических законов нарушается в следующем сообщении:
6. Если подозреваемый совершил преступление, то он сделал это с корыстной целью. Если он сделал это с корыстной целью, то не допускал, что преступление будет раскрыто. Если подозреваемый имеет экономическое образование, то он допускал, что преступление будет раскрыто. Подозреваемый совершил преступление. Подозреваемый имеет экономическое образование.
7. Согласно легенде, калиф Омар при обосновании необходимости сожжения Александрийской библиотеки рассуждал так: «Если ваши книги совместимы с Кораном, то они излишни. Если же ваши книги не совместимы с Кораном, то они вредны. Но если ваши книги излишни или вредны, то их следует уничтожить. Следовательно, ваши книги следует уничтожить». Заключает ли в себе это рассуждение формальную или содержательную ошибку?
8. Сопоставьте привила УИ и modus tollens с определением импликации на стр. Можно ли найти соответствие между ними.