Тема 3. Принятие оптимального решения в условиях экономического риска
Сравнительная оценка вариантов решений в зависимости от критериев эффективности
Таблица коэффициентов оптимальности
Критерий обобщенного максимина (пессимизма-оптимизма) Гурвица
Критерий Гурвица позволяет учитывать комбинации наихудших состояний. Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.
В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей.
Предпочтение отдается варианту решения, для которого окажется максимальным показатель Ei, т.е.
(2.10)
где k — коэффициент, рассматриваемый как показатель оптимизма (0 ≤ k ≤ 1).
При k = 0 критерий Гурвица совпадает с максимальным критерием, т.е. ориентация на предельный риск, так как больший выигрыш сопряжен, как правило, с большим риском. При k = 1 — ориентация на осторожное поведение. Значения k между 0 и 1 являются промежуточными между риском и осторожностью и выбираются в зависимости от конкретной обстановки и склонности к риску ЛПР.
Пример. Анализируется матрица полезного результата, имеющая вид табл. 2.4. При значении коэффициента оптимизма k = 0,6 найдем оптимальную стратегию Pi.
Вычисляем для каждой стратегии линейную комбинацию:
Е1 = 0,6 • 49 300 + (1 - 0,6) • 197 200 = 108 460,
Е2 = 0,6 • (- 60) + (1 - 0,6) • 297800 =119 084,
Е3 = 0,6 • (- 1140) + (1 - 0,6) • 393 600 = 147 756.
Выбираем наибольшее из этих значений:
Еiг = mах{108460; 119084; 147756}.
В соответствии с критерием Гурвица средний размер прибыли будет равен 147 756 у.е. при выборе объема производства Р3 = 1 980 000 у.е.
Применительно к матрице рисков R критерий Гурвица имеет вид:
(2.11)
Пример. Рассматривается матрица коммерческого риска, приведенная в табл. 2.5. Необходимо определить оптимальную стратегию с помощью критерия Гурвица (2.11).
Вычисляем при коэффициенте оптимизма k = 0,6 линейные комбинации:
Еr1 = 0,6 • 196400 + (1 - 0,6) 0=117840,
Еr2 = 0,6 • 95800 + (1 - 0,6) • 0 = 57480,
Еr3 = 0,6 • 101000 + (1 - 0,6) • 0 = 60600.
Находим Eri = min{ 117840; 57480; 60600} = 57480, что отвечает выбору объема производства Р2 = 1500000 у.е.
Пример. Анализируется матрица выпуска новых видов продукции, приведенная в табл. 2.2. Исследовать зависимость Еi от различных значений коэффициента оптимизма k и показать оптимальные решения.
Результаты вычислений по формуле (2.10) сведены в табл. 2.6.
Таблица 2.6
Значения показателей Ei и Еiг для различных k
Решение | Значение коэффициента k | |||||
0,0 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | |
Р1 | 0,4 | 0,37 | 0,34 | 0,31 | 0,28 | 0,25 |
P2 | 0,75 | 0,64 | 0,53 | 0,42 | 0,31 | 0,2 |
Р3 | 0,8 | 0,66 | 0,52 | 0,38 | 0,24 | 0,1 |
Р4 | 0,9 | 0,76 | 0,62 | 0,48 | 0,34 | 0,2 |
Еiг | 0,9 | 0,76 | 0,62 | 0,48 | 0,34 | 0,25 |
Оптимальное решение | Р4 | Р4 | Р4 | Р4 | Р4 | Р1 |
Как видим, с изменением коэффициента к изменяется вариант решения, которому следует отдать предпочтение. Сведем все критерии оптимальности в табл. 2.7.
Таблица 2.7
Показатель | Формула | Название |
Наибольшая осторожность | Критерий гарантированного результата (Вальда) | |
Наименьшая осторожность | Критерий оптимизма | |
Крайняя осторожность | Критерий пессимизма | |
Минимальный риск | Критерий Сэвиджа | |
Компромисс в решении | или | Критерий Гурвица Критерий Гурвица относительно матрицы рисков |
Наличие нескольких критериев выбора эффективных альтернатив вносит дополнительную неопределенность при принятии наиболее предпочтительных решений.
Таким образом, имеет место неопределенность двух видов:
1) неопределенность, обусловленная отсутствием или недостатком информации об анализируемых процессах;
2) неопределенность, причиной которой является наличие нескольких принципов оптимальности.
Пусть при выборе эффективных решений при наличии неуправляемых факторов используется множество критериев оптимальности G = {Gi}, i = . Составляющими Gi могут быть критерии: гарантированного результата, Сэвиджа, пессимизма и т.д.
Критерии Gi являются функцией управляемых факторов P = {Pi}, i = , и неуправляемых факторов П = {Пi}, i = .
Располагая множеством критериев G = {G(P, П)i}, i = необходимо выбрать эффективное решение с учетом указанной совокупности решений.
Проанализируем решения примеров.
Анализ выпуска новых видов продукции (табл. 2.2) позволяет выделить следующие лучшие стратегии: по критерию гарантированного результата — Р1, по критерию оптимизма — Р4, по критерию пессимизма — Р3, по критерию Сэвиджа — Р3, по критерию Гурвица (пессимизма — оптимизма) при k = 0,6 – Р4.
Поскольку стратегии Р3 и P4, фигурируют в качестве оптимальных по два раза, то к практическому применению можно рекомендовать или стратегию Р3 или Р4. Вместе с тем, стратегия Р3 является более осторожной и скорее всего ЛПР выберет стратегию Р3.
Проведем анализ коммерческой стратегии компании при неопределенной конъюнктуре. Исследование матрицы платежеспособного спроса, представленной в табл. 2.4, показывает, что лучшими являются следующие стратегии: по критерию гарантированного результата — Р1, по критерию оптимизма — Р3, по критерию пессимизма — P3, по критерию Гурвица при k = 0,6 — Р3.
Так как стратегия P3 повторяется в качестве оптимальной по трем критериям выбора из пяти, то степень ее надежности можно признать достаточно высокой для того, чтобы рекомендовать эту стратегию к практическому применению.
При рассмотрении платежных матриц больших размерностей (m + n — большое) можно быстро, не проводя громоздких вычислительных операций, оценить предлагаемые варианты решений и выбрать из них оптимальный. В этом заключается наиболее существенное преимущество теории оптимальных критериев.
Из этих примеров видно, что в случае отсутствия информации о вероятностях состояний среды теория не дает однозначных и математически строгих рекомендаций по выбору критериев принятия решений. Это объясняется в большей мере не слабостью теории, а неопределенностью самой ситуации. Единственный разумный выход в подобных случаях — попытаться получить дополнительную информацию, например, путем проведения исследований или экспериментов. В отсутствие дополнительной информации принимаемые решения теоретически недостаточно обоснованы и в значительной мере субъективны. Хотя применение математических методов в играх с природой не дает абсолютно достоверного результата и последний в определенной степени является субъективным (вследствие произвольности выбора критерия принятия решения), оно тем не менее создает некоторое упорядочение имеющихся в распоряжении ЛПР данных: задаются множество состояний природы, альтернативные решения, выигрыши и потери при различных сочетаниях состояния «среда — решение». Такое упорядочение представлений о проблеме само по себе способствует повышению качества принимаемых решений.