Энергия связи ядра. Формула масс.

Один из наиболее поразительных фактов из экспериментальной ядерной физики заключается в том, что плотность массы в ядре приближенно постоянна для различных ядер: объем ядра пропорционален числу А нуклонов в нём. Подобный факт хорошо известен для обычных жидкостей, и, вероятно, поэтому одной из самых ранних моделей ядра, предложенной Бором[2] и фон Вейцзекером[3], стала модель жидкой капли; в ней ядра рассматривались как практически несжимаемые капли жидкости чрезвычайно большой массовой плотности. Модель жидкой капли позволила понять характер зависимости энергии связи ядра от атомного номера, а также дала наглядную физическую картину процесса деления ядра. Энергия связи, как указывалось выше, можно представить формулой

W/c2 = Z·mp + N·mn - М(Z,N). (4.1)

На практике часто используют близкую к энергии связи величину, называемую дефектом массы, которая определяется как разность между энергией покоя атома M(Z,N) и произведением числа нуклонов A на u.

D= M(Z,N)·c2 - A·u (4.2)

Сравнивая (4.1) и (4.2), видим, что величины -D и W по существу описывают одну и туже величину, хотя они и отличаются на некоторую очень малую энергию. Зависимость средней энергии связи в расчете на один нуклон (т.е. величина W/A) от числа нуклонов A показана на рис. 4.1. Эта кривая имеет ряд интересных особенностей.

1. Почти для всех стабильных ядер величина W/A лежит в коридоре 8-9 МэВ. Это постоянство является выражением эффекта насыщения ядерных сил. Это означает, что один нуклон притягивает лишь ограниченное число других частиц; остальные нуклоны либо вовсе не подвергаются его влиянию, либо отталкиваются им. Действительно, если бы каждый нуклон в ядре притягивался всеми другими нуклонами, то имелось бы А(А-1)/2 различных взаимодействующих пар. Естественно ожидать при этом, что энергия связи будет пропорциональной А(А-1)»А2, а диаметр ядра будет равен радиусу действия ядерных сил. Оба эти предсказания противоречат эксперименту при А>4; для большинства ядер объем и энергия связи пропорциональны массовому числу А.

Рис. 4.1. Энергия связи в расчёте на один нуклон для разных ядер.

 

 

2. Величина W/A достигает максимума примерно для ядра железа (А»60). При отходе от максимума она очень медленно спадает при больших А и быстрее при малых А. Такой характер поведения кривой позволяет легко понять основные способы получения ядерной энергии. Если ядро, например, с числом нуклонов А=240 разделится на два осколка с числами нуклонов А» 120, то суммарная энергия связи обоих осколков будет больше, чем энергия связи исходного ядра, т.е. энергия будет освобождаться.

Такой процесс отвечает за получение энергии при реакции деления ядер. С другой стороны, если два легких ядра сольются вместе, то энергия связи слившегося ядра будет больше, чем сумма энергий двух исходных ядер, и энергия снова будет освобождаться. Это как раз та энергия, которая получается в реакции ядерного слияния.

Регулярность и постоянство кривой зависимости энергии связи W/A от числа нуклонов А наводят на мысль, что должна существовать простая формула для массы ядер. Первую такую полуэмпирическую формулу предложил Вейцзекер, который заметил, что постоянство средней энергии связи в расчет на один нуклон и постоянство плотности массы ядра непосредственно приводит к модели ядра в виде жидкой капли. Так как ядро содержит А нуклонов, объемный вклад Еv в энергию связи ядра определяется формулой

Еv=+aА (4.3)

Нуклоны, располагающееся на поверхности ядра, имеют меньшее число связей с другими нуклонами, чем их внутренние партнеры, и поэтому для любого реального ядра конечных размеров нужно учитывать дополнительный поверхностный вклад Еs в полную энергию, который пропорционален величине поверхности ядра и уменьшает полную энергию связи ядра:

Еs=-bA2/3 (4.4)

Объемное и поверхностное слагаемые – это все, что можно извлечь из модели жидкой капли. Если учесть только эти два слагаемых в массовой формуле, то все изобарные ядра окажутся абсолютно устойчивыми независимо от значений N и Z. На практике это далеко не так. Для легких ядер устойчивыми являются изобарные ядра с равным числом протонов и нейтронов (N = Z); для тяжелых ядер устойчивыми изобарными ядрам будут ядра, для которых N > Z. Эту особенность диаграммы NZ (см. рис. 3.1) легко учесть, если включить в массовую формулу ещё два дополнительных слагаемых: симметрийную и кулоновскую энергии.

Слагаемое, отвечающее кулоновской энергии, возникает потому, что меж двумя протонами возникают электрические силы отталкивания. Эта кулоновская энергия стимулирует появление стабильных изобарных ядер с избытком нейтронов. Самую простую оценку величины кулоновской энергии можно получить, если сделать предположение, что заряд Ze однородно распределен по сфере радиусом R. Классическая энергия такого распределения равна . Тогда для ядра, имеющего форму шара с радиусом R=R0A1/3, согласно выше приведённой зависимости, кулоновская энергия будет равна

. (4.5)

Она тем меньше по абсолютной величине, чем меньше Z.

Экспериментальный факт, свидетельствующий о том, что стабильными являются не просто ядра с избытком нейтронов, а ядра, заключенные в узкой полосе на диаграмме NZ (см. рис. 3.1), можно объяснить, только добавляя в массовую формулу еще одно слагаемое - симметрийную энергию. Симметрийная энергия возникает по той причине, что вследствие принципа запрета Паули ядра, в которых нуклонов одного типа больше, чем другого, имеют намного меньшую энергию связи, чем ядра с одинаковым числом протонов и нейтронов.

(4.6)

Собирая вместе все перечисленные слагаемые для энергии связи ядра (N, Z), получаем следующую массовую формулу Вейцзекера для энергии связи:

W= (4.7)

Кроме перечисленных выше четырех членов (4.3-4.6) в формулу масс был впоследствии введен ещё один член d, обусловленный спиновой зависимостью ядерных сил. Он возникает из-за того, что ядра, имеющие четное число нейтронов или протонов, обладают дополнительной энергией связи (эффект спаривания). По этому признаку все ядра разделяются на три группы:

· наиболее устойчивые четно-четные ядра (с четным N и четным Z, т.е. имеющие спаренные нейтроны и протоны);

· наименее устойчивые нечетно-нечетные ядра (с нечетным N и нечетным Z, т.е. имеющие по неспаренному нейтрону и протону);

· нечетные по А, т. е. четно-нечетные и нечетно-четные ( с четным N, нечетным Z и с нечетным N, четным Z).

(4.8)

В окончательном виде формула Вейцзекера выглядит как

, (4.9)

где a=15,75 МэВ; b=17,75 МэВ; g=0,71 МэВ; e=24,7 МэВ;

Помня, что масса ядра М(Z,N) = Zmp + Nmn - W/c2 (см. (3.1)), формулу для массы ядра можно переписать в виде

М(Z,A)=Zmp+(A-Z)mn - . (4.10)

Найдем уравнение минимумов кривых, полученных пересечением массовой поверхности M(A,Z) плоскостями A=Z+N=const.

Выполним дифференцирование

Откуда для Z ядра, имеющего минимальную массу (максимальную энергию связи W) в изобарном семействе с массовым числом A,

(4.11)

Уравнение кривой, являющейся геометрическим местом точек минимальных значений масс в осях OZ, ON, OM, имеет вид

. (4.12)

 

 


Рассмотрим зависимость массы ядер изобар в зависимости от Z. Из уравнения (4.10) следует, что эта зависимость может быть представлена квадратичной параболой

(4.13)

где

.

Уравнение (4.13) для случая ядер с нечетным А характеризуют собой параболу с минимумом в точке Z=Z0 (рис. 4.2).

В случае ядер с четным А возможны два случая: Z0 приходится на четно-четное ядро и на нечетно-нечетное. В обоих случаях график M(Z,N) расщепляется на две эквидистантные параболы со смещением относительно друг друга 2d, но в первом случае ядро с Z0 находиться на нижней параболе (рис.4.3), и тогда в изобарном семействе имеется три стабильных ядра.

Во втором случае ядро (рис.4.4) с Z0 находиться на верхней параболе, и тогда в изобарном семействе имеется два стабильных ядра с Z=Z0-1 и Z=Z0+1 или одно с Z=Z0.

Из анализа формулы масс следует, что изобарное семейство с нечетным А имеет один b‑стабильный нуклид, все остальные члены семейства могут испытывать лишь один вид b-распада: либо b- -для Z<Z0, либо b+-(включая и Е-захват) для Z>Z0.

Изобарные семейства с четным А могут иметь три стабильных нуклида (Z четное) и два стабильных нуклида (Z нечетное),

Аналогичный анализ массовой поверхности может быть сделан для изотопных и изотонных семейств.

Таким образом, формула масс позволяет определить область стабильных относительно b-распада ядер и предсказать вид b-радиоактивности конкретного нуклида.

Рис. 4.2

Рис. 4.3

Рис. 4.4