Выражение скалярного произведения в координатах
Даны векторы, заданные в координатах , . Используя свойства 5, 6 скалярного произведения, составим таблицу (табл.1) значений скалярного произведения единичных векторов .
Таблица 1
Отсюда имеем,
Итак, получена формула, выражающая скалярное произведение векторов в координатах
. (1)
Пример 1.2 Дано: .
Найти: 1) ;
2) двумя способами.
Решение. 1) Используя формулу (1)получим
.
2) первый способ: раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения,
.
Так как , то получим
3) второй способ: найдем координаты сомножителей
Тогда
.
Геометрические и физические приложения скалярного произведения
1. Модуль вектора . В силу свойства 5 скалярного произведения
.
2. Угол между векторами и . Из определения скалярного произведения
получим формулу , (2)
которая в координатах имеет вид
3. Условие перпендикулярности векторов и .
Из свойства 6 скалярного произведения получим условие перпендикулярности векторов
.
4. Расстояние между точками и .
Так как и , то
.
Физическая задача.Под действием постоянной силы материальная точка перемещается прямолинейно из в (рис.1). Из физики известно, что работу совершают только составляющая силы , направленная по линии перемещения. |
Работа равна произведению длины составляющей на длину перемещения
.
Пример 1.3.Даны вершины треугольника . Найти угол при вершине А.
Решение.Составим два вектораи с общим началом-точкой А. Получим
,
.
Найдем косинус угла А, как косинус угла между векторами и
Следовательно,
Пример 1.4.Найти работу силы , затраченную на прямолинейное перемещение материальной точки из в .
Решение. Найдем координаты вектора
.
Найдем работу А, как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения , получим
(Дж).