МВС УКРАЇНИ

Основные классы задач

В практике проектирования приходится иметь дело с самыми различными видами конструкций, режимами их эксплуатации и действующими нагрузками. Однако значительная часть проектных ситуаций может быть сведена к нескольким стандартным классам задач.

 

 

6.1. Статический расчет на прочность и жесткость

Основной задачей на прочность и жесткость является определение усилий и перемещений в элементах моделируемой конструкции. МКЭ в форме метода перемещений позволяет точно находить перемещения в любой точке модели независимо от применяемой размерности конечного элемента (стержень, пластина, трехмерный элемент). Напряжения могут быть найдены точно только для стержневых конечных элементов, а также для пластин и трехмерных элементов только для ограниченного количества стандартных задач теории упругости (замкнутый резервуар). В остальных задачах для пластин и трехмерных элементов сходимость по напряжениям не наблюдается (сингулярность по напряжениям).

Наиболее просто моделируются и анализируются стержневые конструкции (например, фермы и рамы). При этом основным вопросом является верное моделирование конструкции узла соединения отдельных стержней.

Шарнирно-стержневая система (ферма) является одной из наиболее часто используемых расчетных моделей. При этом действительная конструкция узловых сопряжений практически никогда не является истинным шарниром, более того их оси могут не пересекаться в одной точке (Рис.11).

Рис.11. Узел фермы.

 

При оправдании применения шарнирной модели обычно ссылаются на следующие обстоятельства:

- стержни являются столь гибкими, что практически не воспринимают изгибающих моментов;

- все внешние нагрузки приложены к узлам, и поэтому превалирующими являются продольные усилия.

В большинстве случаев эти узлы работают как жесткие, однако их степень жесткости является не настолько высокой, чтобы считать их абсолютно жесткими (размеры элементов конечны). С другой стороны моделирование таких узлов шарнирами изменяет общее распределение усилий в модели, фактически приводя статически неопределимую систему в статически определимую.

В этом случае возможным является выполнение расчетов по двум схемам – с жесткими узлами и с шарнирами (Рис.12). Постановка шарниров должна обеспечивать поворот стержня только в нужной плоскости.

 

Рис.12. Расчетные схемы фермы.

 

Другой особенностью расчетов стержневых конструкций является необходимость корректного учета различных жесткостей стержня (ЕА – на растяжение, ЕJ - на изгиб и т.д.). Часто пренебрегают жесткостью на сдвиг (GJ) из-за незначительного вклада сдвиговой компоненты в интеграл Мора. Все это может приводить к потере точности решения в самых различных задачах. При этом пренебрежение деформацией сдвига недопустимо, если рассматривается система с анизотропными элементами, обладающими малой жесткостью сдвига, например, относительно короткие деревянные балки, или стержни двутаврового сечения, где касательные напряжения в тонких стенках достигают значительных величин.

Третьей особенностью является необходимость анализа по нелинейной схеме - физически нелинейной (задание диаграммы нагружения) или геометрически нелинейной (задание шага нагружения). В большинстве случаев достаточным оказывается выполнение обычного линейного расчета, но при больших перемещениях (малые сечения, длинные стержни) требуется его уточнение по нелинейной схеме. Суть этого расчета сводится к линеаризации диаграммы работы.

В качестве четвертой особенности можно выделить необходимость учета последовательности нагружения. Этот вопрос актуален только в двух случаях (т. к. иначе выполняется принцип суперпозиции):

- расчет выполняется по нелинейной схеме;

- в процессе приложения нагрузок меняется расчетная схема (монтаж).

Само по себе рассмотрение режима монтажа конструкции является крайне желательным, поскольку характер работы участков конструкции в период монтажа может принципиально отличаться от их работы в период основной эксплуатации (например, метод надвижки в мостах).

Пятой особенностью является необходимость учета предварительного напряжения элементов конструкции, более характерная для железобетонных конструкций. В зависимости от типа задания преднапряжения (натяжение “на элемент”, “на землю”) используются различные принципы моделирования.

Одной из разновидностей задач статического расчета на прочность и жесткость является контактная задача (Рис.13). Ее суть сводится к нахождению напряжений и деформаций на поверхности двух соприкасающихся тел. Такая задача очень распространена для машиностроительных конструкций.

 

M

Рис.13. Контактная задача.

 

Решение контактной задачи может быть выполнено только с помощью трехмерных конечных элементов. Поскольку при этом перемещения сопоставимы с размерами контактирующих элементов, то необходимо решать задачу в геометрически нелинейной постановке. Однако проблема сингулярности по напряжениям в данном случае также имеет место.

 

6.2. Статический расчет на устойчивость

Основной задачей статического расчета на устойчивость является определение той критической силы (F_кр), которая вызывает потерю устойчивости какого-либо элемента конструкции. В этом смысле данная задача является обратной по отношению к задаче расчета на прочность и жесткость, где нагрузка четко задана. Поэтому для сохранения общей идеологии работы программных комплексов при анализе устойчивости поступают следующим образом: прикладывают к системе произвольную нагрузку F₀ в интересующей области и рассчитывают коэффициент запаса устойчивости k_уст= F_кр / F₀. Если к примеру k_уст=0.6, то F_кр = 0.6хF₀.

Однако при таком подходе исключается возможность определения F_кр для каждой нагрузки в случае их сочетания из нескольких: F₁+F₂+F₃ (Рис.14). В результате расчета будет определен только единый k_уст для конкретного распределения нагрузок в конструкции.

F1

F2

F3

F2

F1

F3

kуст1≠kуст2 F1+F2+F3=const

Рис.14. Различные случаи загружения рамы.

 

В классической постановке решения задачи устойчивости, реализованной практически всеми программными системами, предполагается, что все внутренние усилия (а значит и величина F_кр) растут пропорционально одному параметру, что связано с таким же пропорциональным ростом всех приложенных к системе нагрузок. В общем случае это утверждение неточно, поскольку при учете продольно-поперечного изгиба стержней их полные матрицы жесткости не являются постоянными, а зависят от величины продольной силы. Поэтому с ростом интенсивности внешней нагрузки может происходить перераспределение продольных сил в системе. Однако для очень многих конструкций соотношения между внутренними усилиями почти не меняются в процессе нагружения. Типичным примером могут служить обычные рамные системы, у которых при вертикальной нагрузке соотношения между усилиями в стойках остаются практически постоянными. В этом случае проблема сходимости, характерная для задач статической прочности в пластинчатых и трехмерных конечных элементах, не проявляется. Разбивка на конечные элементы принимается более грубой, чем в статических задачах. Формы потери устойчивости определяются точно.

 

6.3. Динамический расчет

При анализе динамического поведения конструкций все задачи основаны на определении динамических характеристик конструкции (Рис.15, 16) (частот и форм колебаний).

 

Рис. 15. Формы колебаний.

 

 

Рис.16. Инерционные сейсмические нагрузки, отвечающие различным формам собственных колебаний.

При вычислении суммарных форм собственных колебаний могут возникать недоразумения, связанные с тем, что используемая для этого зависимость (формула Розенблюма) содержит выражение квадратного корня, что может влиять на потерю знака («+» или «-»). Суммарные формы собственных колебаний и соответствующие им инерционные силы не приводят к суммарной эпюре моментов, которая вычисляется по моментам отдельных форм колебаний (Рис.17).

 

Рис.17. Результаты расчета по формам собственных колебаний.

 

Основной особенностью решения всех динамических задач является необходимость моделирования объекта как можно точнее и подробнее (перегородки, стены и т.д.). В статических задачах многие мелкие элементы конструкции практически не сказываются на уровне напряженно-деформированного состояния, но в динамических задачах их вклад очень значителен.

Второй особенностью является необходимость решения задачи в пространственной постановке. Иначе пропускаются крутильные и комбинированные формы колебаний, а также соответствующие им частоты.

В практике очень часто возникает вопрос о количестве определяемых частот и форм колебаний. По этому поводу считается, что в методе конечных элементов для системы с n динамическими степенями свободы надежно вычисляются примерно n/2 низших частот. Однако на практике эти высшие частоты при собственных колебаниях реализуются крайне редко. В большинстве случаев имеют место колебания с частотами безузловых форм.

Высшие частоты спектра колебаний, как правило, являются парциальными частотами отдельных элементов системы и могут реализоваться на практике только в случаях вынужденных колебаний. Таким образом во многих случаях разбивка на конечные элементы модели в динамических задачах может быть принята гораздо более грубой, чем в статических задачах.

Третьей особенностью динамических задач является необходимость их непосредственной постановки и решения в динамической форме, а не в форме квазистатики. Особенно это относится к задачам действия кратковременной нагрузки (удар, импульс, сейсмика), когда в силу инерционных свойств элементов конструкции деформации «не успевают» распространиться на всю систему (машины сминаются только в месте удара).

Все динамические задачи сводятся к определению перемещений в системе, поэтому они в методе конечных элементов решаются точно.

 

 

Литература

1. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа - М.: ДМК Пресс, 2007. - 600с.

2. Шимановский А.В., Лисицын Б.М. – Моделирование строительных конструкций. – К.: Сталь, 2006. – 724 с.

3. Клепиков С.Н. Расчет сооружений на деформируемом основании. – К.: НИИСК, 1996. – 200 с.

4. Баженов В.А., Криксунов Э.З., Перельмутер А.В. и др. Строительная информатика. Автоматизированное проектирование несущих конструкций зданий и сооружений: учебное пособие для вузов. - М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2006. – 460 с.

5. Карпиловский В.С., Криксунов Э.З., Маляренко А.А и др. Вычислительный комплекс SCAD. - М.:СКАД СОФТ, 2007.-590 с.

6. Правдин Н.В., Головнич А.К., Вакуленко С.П. Компьютерное проектирование железнодорожных станций: учебное пособие для вузов железнодорожного транспорта. – М.: ГОУ УМЦ ЖДТ, 2008. – 472 с.

7. Ванін В.В., Перевертун В.В., Надкернична Т.О. Комп'ютерна інженерна графіка в середовищі AutoCAD. – К.: Каравела, 2005 – 336 с.

8. Соколова Т.Ю. AutoCAD для студента. – СПб.: Питер, 2007. – 256 с.

 

 

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ВНУТРІШНІХ СПРАВ