Подстановки Эйлера.

Интегралы вида .

Интегралы вида:

рационализируются подстановкой:

Пример 1:

 

 

Пример 2:

 

Интегралы вида:

рационализируются одной из подстановок Эйлера:

 

Первая подстановка Эйлераприменима при a>0:

Члены, содержащие х² взаимно уничтожаются, и х (а значит, и dx) выражается через t рационально.

Третья подстановка Эйлераприменима всякий раз, когда трёхчлен имеет действительные корни, и, в частности, при a<0. Пусть корни будут х₁ и х₂, тогда полагаем

Рациональное выражение радикала находим так:

 

Замечание: первая и третья подстановки Эйлера достаточны, чтобы вычислить любой интеграл, рассматриваемого вида.

Вторая подстановка Эйлераприменима при c>0:

возводя в квадрат и деля затем на х, получаем рациональное выражение х через t.