Некоторые интегралы, зависящие от радикалов.

Тригонометрические подстановки.

Для подынтегральных выражений, содержащих радикалы, а также их квадраты удобны тригонометрические подстановки:

Пример 1:

 

 

Пример 2:

 

Пример 3:

 

Символ R(x; y) здесь и в дальнейшем обозначает дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены относительно букв х, у. Такая дробь называется рациональной функцией двух переменных х, у. Если знаменатель постоянная величина (многочлен нулевой степени), то рациональная функция называется целой.

Аналогично определяется рациональная функция трёх переменных R(x; y; z), четырёх и т.д.

Интеграл вида

где a, b, … - рациональные числа, а p, q, r, s – постоянные величины (числовые или буквенные) приводится к интегралу рациональной функции и, значит выражается через элементарные функции, при помощи подстановки:

В частности, интеграл

вычисляется подстановкой х=tⁿ.

Замечание:Приведение данного интеграла к интегралу рациональной функции называют рационализацией.

 

Пример 1: