Вейвлет - преобразование
Для анализа сигналов s(t), заданных навсей временнойоси , в настоящее время часто используются негармоническиебазисныефункции— вейвлеты (wavelet). Название "вейвлет", переводитсяна русскийязык как "маленькая волна". Вейвлет представляется функцией ψ(t) осциллирующей в некотором временном интервале подобно волне и быстро затухающей вне него.При этом функция должна иметь нулевое среднее значение
На рис. 4 показаны графики двух вейвлетов:мексиканская шляпа и Хаара .
Общий принциппостроения базиса на основе вейвлета состоит виспользовании масштабирования (сжатияили растяжения)базисной функции во времени и сдвига (смещения)еепо временной оси.
Таким образом, семейство вейвлетов — это функции
,
где:а —масштаб, b — сдвиг. Коэффициент перед функцией введен для сохранения нормы сигнала в L2(R).
Чем больше масштаб, тем медленнееизменяется и более «крупномасштабно» выглядитвейвлет. Чем меньше а, темболее высокочастотныеи быстроизменяющиеся составляющие описываетвейвлет. Понятиечастоты из классического гармонического спектрального анализа в вейвлет-анализезаменено масштабом а.
Используя сдвиг вейвлета, но оси времени, проводим анализ свойств сигнала в разных точках временной оси. Такой сдвиг не предусмотрен в гармоническом анализе. Поэтому вейвлеты удобно использовать при анализе нестационарных сигналов, когдакроме информации овыявленных частотахнужно получить данные о моментах времени, при которыхэти частоты возникают или исчезают.
Непрерывное изменение масштаба а и сдвига b,как правило, является избыточным. Для построения вейвлет-рядовможно ограничиться дискретнымизначениями а и b, а именно и , где m, - целые (кратномасштабный анализ). Сдвиг b в этомслучае пропорционален а. При таком выборе b вейвлеты сдвигаются дискретно, малыми шагами, покрываявсю временную ось. В этом случае семейство вейвлетов имеет вид
где т —уровень разрешения, k —целочисленный сдвиг.
Несмотря на дискретность a и b существуюттакие ψ(t), которые образуютортонормированный базис в L2(R). Например, ортонормированныйбазис порождает вейвлетХаара. Легко убедиться, чтосмешенные и масштабированные функции Хаара ортонормированны. Кроме вейвлетов Хаара ортонормированный базисобразуют вейвлетыДобеши,Симлета,Койфлета,Мейера и др.
Используя ортонормированный базис, получим вейвлет-ряд
где коэффициенты определяются скалярными произведениями
При фиксированном уровнеразрешения т для представления сигнала используются сдвинутыекопии вейвлета содинаковым масштабом,а = 2m. Приуменьшении уровня разрешения т на 1 используютсясжатые вдвое вейвлеты иряд позволяет описать более высокочастотныесоставляющиеанализируемого сигнала.
Используяскалярное произведение, поаналогии с интегралом Фурьеописание сигналов, принадлежащих L2(R),можно также дать с помощью масштабно-временногонепрерывноговейвлет-преобразования (НВП)
(*)
где — вейвлет.
Масштаб и сдвиг изменяются непрерывно. Отметим, что в выражении (4) можно использовать ортогональные, неортогональные и комплексные вейвлеты.
Формулу (*) можно использовать для определения коэффициентов dm,k вейвлет-ряда. Для определения dm,k достаточно в вместоa иb подставитьих дискретныезначения.
Для того чтобы обратно получить s(t)из результата масштабно-временного НВП— функции , вейвлетψ(t)должен дополнительно удовлетворять следующему условию
где через ψ(ω)обозначенопреобразование Фурье для вейвлетаψ(t).
Если условие выполнено, то имеется формула обратногонепрерывноговейвлет-преобразования (ОНВП)
Здесь сигналs(t)выражается через сумму бесконечно большого числа бесконечно малых по величине базисных вейвлетов с весами .