Спектральный анализ сигналов

АНАЛИЗ ДАННЫХ

ТЕМА 3

Смысл спектральных методов состоит в том, что обработка сигнала, являющегося функцией времени, заменяется обработкой спектра сигнала, являющегося функцией частоты.

В практике обработки сигналов спектральные методы применяются для следующих целей:

· разделения составляющих процесса;

· фильтрации сигнала;

· идентификации системы путем построения передаточной функции;

· обоснования требуемого объема выборки и частоты дискретизации.

Одной из главных причин широкого распространения спектрального анализа является то, что многие физические и биологические системы реагируют лишь на частоты в определённых и ограниченных диапазонах. Системы часто имеют резонансы. В линейных системах частотные составляющие выходного сигнала соответствуют частотам входного сигнала. В некоторых случаях частотный анализ даёт дополнительную информацию об исследуемом процессе. Разложение по синусам и косинусам выбрано потому, что синусы и косинусы – собственные функции линейного фильтра, т.е. они не изменяют своей формы при прохождении через линейный фильтр.

Пусть сигнал является периодической функцией от времени с периодом Т. Обозначим эту функцию f(t). Тогда, если f(t) кусочно непрерывна на интервале , то всюду, кроме точек разрыва

Этот ряд называют рядом Фурье.

Набор коэффициентов c_k - это комплексный спектр функции f. Другими словами, функция f, зависимая от времени, полностью (кроме конечного числа точек разрыва) определяется набором коэффициентов с_k, независимых от времени.

Для действительной функции f формулу можно переписать в следующем виде:

Здесь A_k - модуль c_k, а j_k - аргумент c_k.

Физический смысл этой формулы состоит в том, что любой периодический сигнал представляется в виде суммы постоянной составляющей (A₀) и (вообще говоря, бесконечного) числа гармонических составляющих с амплитудами 2A_k, периодами и сдвигами фаз j_k.

Иногда A_kи j_k называют амплитудной и фазовой составляющими спектра.

Частота, соответствующая k-й гармонической составляющей, равна

Если устремить интервал разложения функции f(t) к бесконечности, то получим интеграл Фурье:

При промышленном эксперименте значения параметров получаются с помощью периодических измерений, поэтому сигнал является дискретным в том смысле, что его значения определены только для дискретного множества моментов времени:

При работе с дискретными сигналами вместо интегралов используют ряды. Для конечного (N) числа значений t, требуется конечное (равное N) число слагаемых ряда. В этой ситуации применяется дискретное преобразование Фурье,которое определяется так:

Пусть f_k= f(t_k) - значения сигнала, измеренные в моменты времени . Тогда

где c_k- коэффициенты дискретного преобразования Фурье, получаемые по формуле:

Таким образом, дискретное преобразование Фурье позволяет получить аппроксимацию спектра сигнала для дискретного случая. Непосредственное применение этой формулы требует времени, пропорционального квадрату количества значений сигнала.

Расчет дискретного преобразования Фурье за приемлемое время (пропорциональное N ^.log N) возможен при применении алгоритма Кули-Тьюки известного как быстрое преобразование Фурье. Он основан на следующем преобразовании формулы:

Спектр является линейным преобразованием исходной функции. Из этого следует, что если измеряемый сигнал является суммой нескольких сигналов и какой-то из них имеет характерный пик на определенной частоте, то этот пик проявится в спектре суммарного сигнала. Это позволяет непосредственно идентифицировать наличие некоторых типов сигналов в суммарном сигнале.

Например, наличие характерных пиков на частотах, кратных 50 гц, в спектрах токовых сигналов является признаком наличия сетевой наводки.

Если имеется априорная информация о спектре сигнала или о спектре шума, то ее можно использовать для улучшения соотношения сигнал/шум путем фильтрации.

Например, если известно, что сигнал низкочастотный, фильтрация высоких частот повлияет на сигнал в значительно меньшей мере, чем на шум и, следовательно, соотношение сигнал/шум улучшится.

Спектральные методы позволяют эффективно реализовать фильтрацию сигнала.

Компьютерная фильтрация с помощью спектральной обработки основывается на формуле:

где p(t) - исходный сигнал, - отфильтрованный сигнал,

A(w) - (комплексная) амплитудно-частотная характеристика фильтра,

F[…] и F^‑1 […] - прямое и обратное преобразование Фурье.

Компьютерная фильтрация позволяет реализовать идеальные фильтры, т.е. фильтры с наклоном характеристики, равным бесконечности. На рис. 3.1 приведена структурная схема реализации компьютерной фильтрации сигнала в предлагаемой системе.

Хорошо известно, что линейные стационарные системы полностью определяются их передаточной функцией (т.е. отношением спектров выходного и входного сигналов). Это свойство широко применяется при идентификации систем.

Рис. 3.1. Структурная схема программной реализации фильтров с

произвольной АЧХ на основе быстрого преобразования Фурье

Использование стандартных фильтров для обработки сигналов

Одной из часто возникающих на практике задач является создание фильтров, пропускающих сигналы в определенной полосе частот и задерживающих остальные частоты. При этом различают:

1) фильтры нижних частот (ФНЧ), пропускающих частоты, меньшие некоторой частоты среза ;

2) фильтры верхних частот (ФВЧ), пропускающих частоты, большие некоторой частоты среза ;

3) полосовые фильтры, пропускающие частоты в некотором диапазоне … (могут также характеризоваться средней частотой и шириной полосы пропускания );

4) режекторные фильтры (заграждающие фильтры), пропускающие на выход все частоты, кроме частот, лежащих в некотором интервале … (могут также характеризоваться средней частотой и шириной полосы задерживания ).

Фильтрация используется для выделения частей сигналов в заданном (временном/частотном) диапазоне, построения спектров, получения огибающих.

Идеальная амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтров всех четырех типов показана на рисунке 3.2:

K(w)

ФНЧ

ФВЧ

Режекторный фильтр

Полосовой фильтр

Рисунок 3.2 – АЧХ фильтров различного типа

Однако такая идеальная (прямоугольная) форма АЧХ не может быть физически реализована. Поэтому на практике прибегают к определенным методам аппроксимации прямоуголных АЧХ.