Линейные однородные уравнения первого порядка. Линейные неоднородные уравнения первого порядка

Лекция № 30.

 

Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Линейные уравнения.

 

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднороднымдифференциальным уравнением.

 

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения.

 

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

.

 

Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

 

Общее решение:

 

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

 

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

 

Метод Бернулли.

(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)

 

Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций .

При этом очевидно, что - дифференцирование по частям.

 

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

Например, функция может быть представлена как

и т.п.

Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .

Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

 

 

 

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

 

Интегрируя, можем найти функцию v:

; ;

Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.

Подставляя полученные значения, получаем:

 

 

Окончательно получаем формулу:

 

, С₂ - произвольный коэффициент.

 

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

 

Метод Лагранжа.

 

( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик, през. Берлинской АН,

поч. чл. Пет. АН (1776)).

 

 

Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.

 

Вернемся к поставленной задаче:

 

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:

.

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С₁ некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем: