Лекция № 8.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними.
Определение 1. Последовательность называется бесконечно-малой последовательностью, если
, т.е. если
.
Определение 2. Последовательность называется бесконечно-большой последовательностью, если
(это записывается еще и так:
, не учитывая знака перед
), т.е. если
.
Изучим некоторые свойства этих последовательностей.
10. Сумма и разность бесконечно-малых последовательностей есть также бесконечно-малая последовательность.
Доказательство:
- б.м.п. =>
- б.м.п. =>
Возьмем. Тогда
откуда следует, что есть б.м.п.
Следствие. Сумма любого конечного числа б.м.п. ест также б.м.п
20. Произведение б.м.п на ограниченную последовательность есть б.м.п.
Доказательство:
- ограничена. =>
- б.м.п. =>
.
Но тогда
отсюда и следует, что есть б.м.п.
3. Б.м.п. ограничена
Доказательство:
Пусть - б.м.п. Тогда
.
Возьмем .
Тогда т.е.
ограничена.
Следствие. Произведение б.м.п. есть также б.м.п.
4. Пусть - б.м.п. и
. Тогда
есть б.б.п.
Доказательство:
- б.м.п =>
.
Возьмем любое и положим
.
Тогда
отсюда следует, что есть б.б.п.
5. Пусть - б.б..п, тогда
есть б.м.п.
- б.б.п =>
.
Возьмем любое и положим
Тогда
отсюда следует, что есть б.м.п.
Определение 3. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа
, как бы велико оно ни было, существует такой номер
, что для всех
с номерами
справедливо неравенство
, записываем
.
1. Если – бесконечно большая, то последовательность
– бесконечно малая. Если последовательность
– бесконечно малая, то последовательность
– бесконечно большая.
2. Если последовательности и
– бесконечно большие одного знака, то их сумма
– бесконечно большая того же знака.
3. Если последовательности – бесконечно большая, а последовательность
– ограниченна, то их сумма
– бесконечно большая последовательность.
4. Если последовательности и
– бесконечно большие, то их произведение
– бесконечно большая последовательность.
5. Если последовательность – бесконечно большая, а последовательность
– сходящаяся, причем
, то их произведение
– бесконечно большая последовательность.
7. Если последовательность – бесконечно большая и для любого
имеет место неравенство
(
), то последовательность
тоже является бесконечно большой.
Т. Если какая-то последовательность является бесконечно малой, то последовательность
является бесконечно - большой последовательностью.