Элементы дифракционной теории лазерных резонаторов.

 

 

- Задача на собственные функции (моды ) и собственные значения () для интегрального оператора Френеля .

Это интегральное уравнение 1-го рода, путь решения- итерационный, при котором начальное значение распределение может быть теоретически произвольным (моды формируются в процессе генерации)

 

Физический смысл =||е^{-j arg}

1) || - отвечает за изменение амплитуды, 1-||² – определяет дифракционные потери.

2) argотвечает за дополнительный сдвиг фаз, который приобретает волна (дополнительные фазовые набеги, обусловленные дифракцией)

Это влияет на баланс фаз, на частотный спектр.

,

 

Существенные параметры резонатора:

1) Частотный спектр {}

2) Потери в резонаторе { α_{.пот mnq.} , Q_mnq, τ_mnq}

 

Резонатор формирует каустику пуска- распределение поля в резонаторе и за его пределами.

Геометрические параметры распределения поля: {a(z₁), a(z₂), ka₀²/2, d₁, d₂, Θ_расх}

Резонатор характеризуется: {R₁, R₂, L, r_отр1, r_отр2, a₁,a₂}

,

g₁=1-R₁/L , g₂=1-R₂/L

обобщенные параметры: G₁=g₁, G₂=g₂

обобщенные параметры координат: X₁=, X₂=

- независимые распределения.

Обобщенное дифракционное уравнение резонатора:

Частный случай:

1. Конфокальный резонатор G₁=0=G₂, N_ф>>1

-преобразование Фурье.

Такое интегральное уравнение может быть решено точно:

- гауссов пучок.

Если число Френеля конечное N_ф<1 - уравнение имеет другое решение. Полученное решение относится к конфокальному резонатору только при условии, что N_ф>>1.

При конечных значениях числа Френеля исходное уравнение:

принимает вид:

Это уравнение имеет точное решение в виде специальных функций – сфероидальных вытянутых угловых функций и вытянутых радиальных функций.

- распределение поля на зеркалах.

Собственные числа :

= (отвечает за амплитуду и дополнительную фазу)

Где , - сфероидальные вытянутые угловые функции, , - вытянутые радиальные функции (ф-я Ламера).

 

Графики: (номограммы)

Для иллюстрации решения резонатора рассмотрим график распределения поля на зеркале резонатора для двух числе Френеля.

(результат точного оптического расчета)

Мода TEM₀₀

 

x/a=1- край зеркала.

Вывод:

Увеличение числа Френеля приводит к резкому уменьшению амплитуды поля на краю зеркала, что резко уменьшает дифракционные потери. Это распределение похоже на ТЕМ₀₀

Единственный резонатор, решаемый точно- это конфокальный.

 

Мода TEM₀₁

Рассмотрим распределение поля на апертуре зеркала для моды 01.

 

1. Если увеличивается число Френеля- поле на краю зеркала резко уменьшается

2. Сопоставляя графики приходим к выводу- у мод высшего порядка дифракционные потери больше, чем для мод 00