Математическое обеспечение. Задачи объемного годового планирования

Математическое обеспечение. Задача долгосрочного планирования. Динамическое программирование

Основы математической логики

Логика - наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний (утверждений). С помощью логических средств наш язык уточняется, приобретает четность и определенность. Изучив основные понятия математической логики, можно описывать рассуждения, «вычислять» их результаты. Знание основных законов и методов математической логики способствует повышению общей культуры мышления, помогает приобрести навыки логически стройных рассуждений, отчетливых формулировок, кратной и корректной записи предложений и утверждений. Логика составляет основу всякого управления, в том числе технологическими процессами. Математическая логика - современная форма логики, опирающаяся на формальные математические методы. Основные объекты логики - высказывания, то есть предложения, которые могут быть либо истинными, либо ложными.

Логическая функция - это функция логических переменных, которая

может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.

Логический элемент - это устройство, реализующее ту или иную логическую функцию.

Y=f (х₁, х₂, х₃,...,х_n) - логическая функция

a) Конъюнкция - (логическое умножение)

Например: Ø)

b) Дизъюнкция (логическое сложение) - .

c) Инверсия - .

d) Импликация (следует, следовательно)

- логическая функция, в которой истинно, то - истинно.

Таким образом, логические функции – это удобное средство для построения сложных утверждений и проверки их истинности, а также функции обладают аналогичными свойствами с алгебраическими операторами. Это даёт возможность упрощать исходные выражения. Особое свойство логических выражений – возможность их нахождения по значениям. Это получило широкое распространение в цифровой электронике, где используются логические элементы, и программирование.

Теория множеств составляет основу построения всей современной математики. Множество - это неопределяемое понятие, представляющее некоторую совокупность данных. Элементы множества можно отличать друг от друга, а также определять, принадлежит ли данный элемент данному множеству. Над множествами можно выполнять операции объединения, пересечения, разности и дополнения.

Перспективное планирование осуществляется методами динамического программирования. Динамическое программирование – методы решения оптимизационных задач, в основе которых лежит идея разбиения исходной задачи на последовательный ряд более простых задач. Основная область приложения динамического программирования – многошаговые процессы, т.е. процессы, протекающие во времени (дискретном или непрерывном).

Методы решений: расчетный, оптимизационный.

Пусть в нашем распоряжении имеется ограниченная сумма средств и два золотых прииска и . В прииск вкладывается некоторая часть , тогда в прииск может быть вложено . Вкладываемые средства затрачиваются на закупку оборудования, оплату труда и др. Часть этих средств останется в нашем распоряжении – стоимость оборудования за вычетом амортизации, но другая часть уходит безвозвратно. Таким образом, через год от вложений в прииск останется , а в - .

Множители и <1, т.е.

От продажи произведённой продукции получим доход. Для простоты принимаем, что этот доход пропорционален квадрату вложений, иначе говоря, доход от - , тогда от - .

Пусть , т.е. прииск более доходен. Если бы при этом было и , т.е. требовал бы меньших затрат, то проблемы не было бы, т.е. мы бы эксплуатировали только прииск . Но если (будем рассматривать), т.е. при большей доходности он требует больших средств. Неизвестно, стоит ли отказаться от эксплуатации прииска .

Требуется найти такое, при котором доход от эксплуатации обоих предприятий получался наибольшим.

Предположим, что мы взяли в аренду предприятие на лет, тогда вложения в 1-ый, 2-й и остальные годы в прииск : соответственно - .

По истечению 1-го года у нас от первого вложения останутся средства:

От 2-го года: ,

……………

От года: ,

От года: .

Пусть каждый год мы вкладываем только то, что осталось от вложений предыдущего года. А доходы от продажи не инвестируем. Суммарный доход за лет обозначим переменной . Тогда суммарный доход:

Задача в том, чтобы выбрать вложения в первое предприятие, соответственно вычислить вложения во второе предприятие так, чтобы суммарный доход был максимальным.

Решение подобных задач в принципе можно делать классическими методами математического анализа (отыскиваются точки и ).

Однако при достаточно большом этот трудоемкий процесс частично является простым перебором, что даже в компьютере сделать нелегко.

Пример решения:

Пусть заданы числовые значения:

А: В:

Определить доход , полученный в последний год:

Автор метода Р Беллман сформировал принцип оптимальности: если некоторый процесс разделен на ряд последовательных этапов, то для нахождения наилучшего результата нужно выбрать наиболее благоприятный вариант, не оглядываясь на то, что было получено на предыдущих этапах.

Рассматривая последний год, намереваемся выжать max доходов.

Строим семейство кривых при различных :

Получено семейство парабол, следовательно, при любом эта форма сохраняется.

Чтобы это показать, необходимо найти вторую производную:

Т.к. она положительна, то выпуклость книзу сохраняется.

Рассмотрим величину , по своему смыслу это часть капитала , вложенное в предприятие , не может быть больше , иначе говоря:

Поэтому максимальным может приниматься лишь на концах этого интервала, тогда мы можем при ,

Итак, независимо от величины на последнем этапе наибольший доход будет при , т.е. все оставшиеся деньги вкладываем в более доходное предприятие .

найдем доход двух последних лет:

Из предыдущего известно, что , подставив выражение через предыдущие этапы, получим:

Тогда

Имеем параболу, выпуклость которой направлена книзу. Найдем ее значение на границах интервалов:

При

Проведем вычисления для 3-х последних этапов:

При имеем

При

16.1. Модель годового планирования по критерию «максимальная прибыль»

Предприятия выпускают j типов продукции

А - сумма условно-постоянной части косвенных расходов по выполнению годового плана.

- цена за единицу продукции

– прямые затраты на единицу продукции (содержание цеха)

– расход i вида материала на единицу j-ой продукции

– трудоемкость в час, изготовление j-ой продукции на k-ом оборудовании

- трудоемкость в нормочасах -ой профессии на единицу j-го изделия

- основная заработная плата на единицу j-го продукта

- минимально и максимально возможное количество выпускаемых j-х изделий. Зависит от стабильности покупателей ( ) и от анализа рынка

- количество материала i-го вида

- годовой фонд времени k-го оборудования

- годовой фонд времени -ой профессии

- объем реализации, не ниже которого планируется выпустить продукцию, например, оценка предыдущего периода (в денежном выражении)

- годовой фонд заработной платы

- искомое количество каждого вида выпускаемой продукции

Математическая модель в виде задачи линейного программирования

Критерий оптимальности может быть и другим в зависимости от задач производства, например, при наличии дорогостоящего оборудования и больших затрат на обслуживание

II - отражает стоимость обслуживания дорогостоящего оборудования, например, взятого в аренду

IIIМаксимальный объем реализации продукции