Основные понятия теории множеств
Символика математической логики и теории множеств.
При разработке математического обеспечения задач достаточно важным является выбор удобного языка описания математической модели и алгоритма его решения.
Теория множеств составляет основу построения всей современной математики. С помощью логических средств наш язык уточняется, приобретает четность и определенность. Изучив основные понятия математической логики, можно описывать рассуждения, "вычислять" их результаты. Знание основных законов и методов математической логики способствует повышению общей культуры мышления, помогает приобрести навыки логически стройных рассуждений, отчетливых формулировок, кратной и корректной записи предложений и утверждений.
Теория множеств базируется на двух очень простых понятиях: на понятии множества и понятии элемента. Под множеством принято понимать любую совокупность объектов, которые по какой-либо причине необходимо сгруппировать вместе. Отдельные объекты, входящие в состав множества называются его элементами.
В математике употребляются следующие синонимы термина множество - система, класс, совокупность. Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение множества – «множество есть многое, мыслимое нами как целое».
Пример:
Множество Х и его элемент х находятся в отношении принадлежности: хÎ Х. Эта запись расшифровывается так: элемент х принадлежит множеству Х, а множество Х содержит в себе элемент х.
Выделим из множества Х какую-нибудь часть его элементов. Эту выделенную часть можно трактовать как самостоятельное множество B. Тот факт, что B является частью Х, обозначают так: B Ì Х. При этом говорят, что B есть подмножество множества Х. Надо четко различать две записи х Î Х и B Ì Х.
Знак включения Ì связывает два множества, а знак принадлежности Î связывает множество с его элементом.
Составляя множество B, мы могли включить в него все элементы из Х. Тогда получится B = Х. Но даже в этом крайнем случае B можно трактовать как часть Х. То есть B Ì Х не исключает возможности совпадения B =Х.
Другой крайний случай B Ì Х возникает, когда B не содержит ни одного элемента. Такое множество называют пустым множеством и обозначают специальным значком B Æ Х. Пустое множество можно рассматривать как подмножество для любого множества Х, т. е. Æ Ì Х.
Пусть Х и B - два произвольных множества. Некоторые из элементов этих двух множеств могут быть общими: c Î Х и c Î B. Из таких элементов формируется отдельное множество C, которое называют пересечением множеств Х и B. Его обозначают так: C = Х Ç B. Если Х Ç B≠Æ, то говорят, что множества Х и B пересекаются. Если же, наоборот, Х Ç B = Æ, то говорят, что эти множества не пересекаются.
Пусть вновь Х и B - два произвольных множества. Соберем в одно множество C все элементы из Х и B. Полученное множество в этом случае называют объединением множеств Х и B. Его обозначают так: C = Х È B.
Элементы, составляющие множество Х È B, разбиваются на три группы (на три подмножества). Это:
1. Элементы, принадлежащие множеству Х и множеству B одновременно;
2. Элементы, принадлежащие множеству Х, но не принадлежащие множеству B;
3. Элементы, принадлежащие множеству B, но не принадлежащие множеству Х.
Первая группа элементов составляет пересечение Х Ç B. Вторая группа элементов составляет множество, которое называют разностью множеств Х и B. Его обозначают Х \ B. Очевидно, что третья группа элементов, составляет множество, которое является разностью B\Х. Множества Х Ç B, Х \ B и B\ Х не пересекаются друг с другом. При этом их объединение совпадает с объединением Х и B: ХÈB = (ХÇB)È(Х \B)È(B \Х).
В теории множеств существует такое понятие, как квантор. Кванторы – это некоторые логические понятия, с помощью которых детализируются логические рассуждения, например, условия. Существует два вида кванторов: квантор существования и квантор общности.
a) Квантор существования ( )
читается - есть такой элемент
- хотя бы один
- найдется, по крайней мере, один
Например: ;
- импликация (выполнить, сделать)
b) Квантор общности ( )
читается - все те, которые
- для всех
- если все.
Форма – это некоторое утверждение об объекте (некоторое количественное высказывание);
- читается как - такой,
- такой который,
- такой что
Например: ,
Главной задачей фундаментального образования является формирование научного способа мышления. Каждый грамотный специалист должен иметь представление об основных законах мышления и его формах, должен уметь логично рассуждать, мотивировать свои действия, уметь обосновать свои решения. Поэтому в электронный учебник вошли материалы, посвященные языку математической логики.