Критерий устойчивости Найквиста.

Этот критерий, предложенный в 1932 г. американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристикеке (АФЧХ) разомкнутой системы (рис. 7.5).

Рассмотрим сначала случай 1, когда известно, что система в разомкнутом состоянии устойчива (рис. 7.5, а). Условие устойчивости замкнутой системы тогда сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0). На рис. 7.5, а характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 – неустойчивой, а характеристика 2 – нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшать коэффициент передачи в неустойчивой системе, ее АФЧХ будет сжиматься к началу координат, в результате чего система станет в конце концов устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика ранее устойчивой системы в конце концов охватит точку (-1, j0), и система потеряет устойчивость.

Для случая 2, т.е. для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку: для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку (-1, j0). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1, j0) сверху вниз должно быть на k/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где k – число правых полюсов передаточной функции W(s) разомкнутой системы, т.е. число полюсов с положительной действительной частью.

На рис. 7.5, в в качестве примера показаны две АФЧХ разомкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии вследствие наличия правых корней, но устойчивой в замкнутом состоянии. Характеристика 1 соответствует k = 1, а характеристика 2 – значению k = 2. (В первом случае имеем «половину» пересечения действительной оси левее точки (-1, j0)).

 

 

Таким образом, в общем случае при применении критерия Найквиста необходимо предварительно определить число правых полюсов W(s). Для одноконтурной системы, когда знаменатель W(s) представляет собой произведение знаменателей передаточных функций отдельных звеньев, это число находится легко, поскольку полюсами W(s) являются полюсы передаточных функций отдельных звеньев. У многоконтурных систем, особенно с перекрестными связями, задача определения числа k усложняется, и поэтому в этих случаях целесообразно отказаться от применения критерия Найквиста. В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения.

Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, условием устойчивости ее в замкнутом состоянии является неохват АФЧХ точки (-1, j0). Последнее имеет место, если при частоте, на которой А(ω) = 1, абсолютное значение фазы меньше π.

Сказанное непосредственно следует из рис. 7.5, а.

Таким образом, применительно к логарифмическим характеристикам, если учесть при этом, что значению А = 1 соответствует L = 20 lg A = 0, критерий устойчивости Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что ЛАХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение –π. Или иными словами: на частоте среза ω_с величина фазы должна быть меньше π.

Изложенное иллюстрируется на рис. 7.6.

 

Здесь изображены ЛАХ L(ω) и четыре варианта ЛФХ φ(ω). В случае ЛФХ 1 и 4 замкнутая система устойчива, причем характеристика 4 соответствует АФЧХ 4 на рис. 7.5, а. ЛФХ 2 соответствует нахождению замкнутой системы на границе устойчивости, ЛФХ 3 – неустойчивой замкнутой системе.

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, требования к ЛАХ и ЛФХ в отношении устойчивости можно сформулировать, исходя из соответствующих требований к АФЧХ. В частности, для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, условием устойчивости в замкнутом состоянии является следующее: при положительной ЛАХ число пересечений ЛФХ уровня –π снизу вверх должно быть на k/2 раз больше числа пересечений в обратном направлении.

При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров системы.

В случае применения критерия Рауса-Гурвица о запасе устойчивости можно судить по тому запасу, с которым выполняются входящие в этот критерий неравенства. При использовании графических критериев Михайлова и Найквиста запас устойчивости определяется удаленностью соответствующих характеристик от критического положения, при котором система находится на границе устойчивости. Для критерия Михайлова это будет удаленность годографа D(jω) от начала координат, а для критерия Найквиста – удаленность характеристики W(jω) от точки (-1, j0).

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе Δφ и запас устойчивости по амплитуде ΔL. Эти величины показаны на рис. 7.6 для системы с ЛФХ, представленной кривой 1. Аналогично они могут быть найдены и по АФЧХ.

Запас устойчивости по фазе определяется величиной Δφ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза ω_с, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной ΔL допустимого подъема ЛАХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи k разомкнутой системы по отношению к его критическому по устойчивости значению.

При проектировании САУ рекомендуется выбирать Δφ 30^о, а ΔL 6 дБ. Последнее соответствует примерно двойному запасу коэффициента передачи по устойчивости.

Рассмотренные критерии устойчивости тем или иным способом оценивают один и тот же факт: имеются ли среди корней характеристического уравнения замкнутой системы корни с положительной вещественной частью. Поэтому все они дают одинаковый результат в оценке устойчивости системы.

Надо отметить, что прежде чем исследовать устойчивость САУ с помощью того или иного критерия, следует убедиться, что необходимое условие устойчивости выполняется, т.е. все коэффициенты характеристического уравнения системы являются положительными числами.

Каждый из критериев применяют в зависимости от того, какими исходными характеристиками и данными располагают. Если известны дифференциальные уравнения системы, то чаще применяют алгебраические критерии устойчивости.

Достоинством алгебраических критериев является сравнительная простота применения, а недостатком – то, что они не позволяют оценить влияние на устойчивость системы параметров отдельных ее элементов. Этого недостатка лишен графоаналитический критерий Михайлова.

Чтобы с помощью критерия Михайлова оценить влияние изменения параметров элементов системы на ее устойчивость, необходимо построить кривую Михайлова при заданном значении интересующего нас параметра. А потом изменять этот параметр и смотреть, как будет меняться кривая Михайлова.

При известной АФЧХ используют частотный критерий Найквиста. С помощью этого критерия также можно оценить влияние параметров элементов системы на ее устойчивость. АФЧХ можно снять экспериментально.

 

Оценка устойчивости автоматической системы по ее структуре.

В ряде случаев оценить устойчивость автоматической системы можно по ее структуре. Это значительно сокращает время, так как нет необходимости составлять характеристическое уравнение.

Если система имеет такую структуру, что в ней невозможно обеспечить устойчивость ни при каком значении ее элементов, то такая система называется структурно-неустойчивой.

Оценим устойчивость данной системы по ее структуре. Например, если система имеет два интегрирующих звена, не охваченных жесткой обратной связью, и не имеет последовательно включенных дифференцирующих звеньев, то она будет неустойчивой при любом значении параметров ее элементов.

Покажем это на примере простейшей системы, состоящей из одного апериодического и двух интегрирующих звеньев. Передаточная функция такой системы в разомкнутом состоянии

,

а характеристическое уравнение замкнутой системы

.

Для этого уравнения не выполняется необходимое условие устойчивости. Следовательно, система будет неустойчива при любых значениях параметров Т и К, т.е. она будет структурно-неустойчивой.

Структурно-неустойчивую систему можно превратить в устойчивую только изменением ее структуры, т.е. введением дополнительных элементов, например, дифференцирующих элементов при включении пропорциональных элементов параллельно интегрирующим.

 

Запас устойчивости САУ.

Запас устойчивости – это количественная оценка отклонения значений параметров системы или ее характеристик от зоны, опасной с точки зрения устойчивости. Запас устойчивости по параметрам характеризует расстояние граничной кривой, определяющей область разрешенных значений параметров, от границы области устойчивости. На рис. 7.7 запас устойчивости по параметрам Т и К обозначен через h.

 

Запас устойчивости по критерию Михайлова равен радиусу окружности r, в которую не должна заходить кривая Михайлова (рис. 7.8). Центром окружности является «опасная» точка при применении критерия Михайлова, т.е. начало координат.

При применении критерия Найквиста «опасной» точкой является точка с координатами -1, j0. Оценка запаса устойчивости, исходя из этого критерия, производится по амплитуде и фазе. Запас устойчивости по амплитуде А (рис. 7.9,а) равен расстоянию от точки пересечения АФЧХ разомкнутой системы вещественной оси до точки -1, j0, а запас по фазе φ₁ (рис. 7.9,а) – углу между вещественной осью и вектором, проведенным из начала координат в точку пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса.

При оценке устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам запас устойчивости по амплитуде определяется как ордината ЛАХ при фазе φ = -π и измеряется в децибелах. Запас устойчивости по фазе φ₁ определяется по фазовой частотной характеристике при частоте среза ω_с, т.е. при частоте пересечения ЛАХ оси частот. В этой точке значение ЛАХ равно нулю, так как модуль АФЧХ в этой точке равен единице.

 

На рис. 7.9,б запас по амплитуде А₁ выражен в логарифмическом масштабе. Чем больше по абсолютной величине А₁, тем дальше от точки -1 пересекает АФЧХ устойчивой системы вещественную ось и, следовательно, тем больше величина А (рис. 7.9,а). Отсюда следует, что запасы по амплитудам А и А₁ одинаково характеризуют расположение АФЧХ разомкнутой системы при фазе – π, только измеряются они в разных масштабах.