Продолжение

Методы расчета фундаментальной матрицы

1. – ряд Фурье
2. Использование операторного метода
   ;
   ; .

 

Пример (вычисление фундаментальной матрицы)

Пусть задана система в виде:

; – произвольные.

 

Вычислить фундаментальную матрицу системы .

 

Решение:

;

;

; ;

;

 

;

;

 

 

;

;

 

.

;

;

;

 

.

Элементы матрицы имеют вид, зависящий от корней характеристического уравнения .

 

1. Если корни характеристического уравнения простые (некратные, вещественные), то элемент
   , где
   – корни характеристического уравнения;
   – числа, которые являются коэффициентами разложения на простые дроби элементов .

 

1. Если корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, то
   , где
   – гармоническая составляющая
   ; ­
   ;
   ;
   .

 

1. Если корни вещественные, кратные
   – -ой кратности
   ; ;
   .

 

;

;

;

;

;

 

; 

; ‚

 

;

Представление ­ показывает, что матричная экспонента является матрицей, каждая компонента которой линейная комбинация скалярной экспоненты , а т.к. весовые матицы и соответственно равны  и ‚ также имеют своими компонентами линейные комбинации тех экспонент. Вид этих экспонент (затухающие или возрастающие) определяют траекторию движения системы и .

;

 

;

.