Математические модели САУ в пространстве состояний

Пример

Решение:

Заменим последовательные звенья 1 и 2 на звено 12:

;

Заменим параллельные звенья 3 и 4 на звено 34:

;

Найдем передаточную функцию всей системы:

Решение:

Заменим параллельные звенья 3 и 4 на звено 34:

;

Замени последовательные звенья 3, 34 и 5 на звено 2345:

;

Найдем передаточную функцию всей системы:

Построить временные и частотные характеристики для элементарного звена 2-го порядка дифференциальное уравнение которого:

Рассмотреть:

Решение:

;

Рассмотрим временные характеристики:

;

Комплексная частотная характеристика:

;

Термин пространства состояний получил широкое распространение в ТАУ для описания динамики систем во временной области. Этот термин является новым названием различных математических процедур, которые ранее использовались в аналитической динамике, квантовой механике, теории устойчивости.

Применение этого метода в ТАУ было определено работами Понтрягина, Беллмана (метод динамического программирования), Калмана.

Метод пространства состояний обладает рядом преимуществ при решении задач многомерных и сложных систем:

четкая формализация в постановке различных задач в управлении;
возможность решения задач с большим числом управляемых и управляющих переменных;
простота алгоритмизации вычислительных процедур;
ясность (наглядность) математических формулировок при решении задач.

В методе пространства состояний динамика системы представляется зависимостью между тремя множествами переменных , , . Вход системы выражается либо множеством временных функций , либо множеством временных последовательностей для дискретных систем , . Выход системы представляет собой описание непосредственно наблюдаемого поведения системы.

Основное свойство любой динамической системы заключается в том, что ее поведение в любой момент времени зависит не только от переменных действующих на нее в данный момент времени (от пары , ), но и от переменных действующих на нее в прошлом (, ), т.е. система обладает памятью, позволяющей учитывать вклад переменной, действующей на нее в прошлые моменты времени до наблюдения ее поведения.

Математическое описание динамической системы времени приводит к подчеркиванию и формализации в направлении причинности от прошлого к будущему.

Поведение и свойства динамической системы можно охарактеризовать понятием состояния системы, которому соответствует определенная точка в евклидовом пространстве с координатами, являющимися координатами состояния. Размерность пространства равна порядку системы дифференциальных уравнений, описывающих ее поведение.

Движение конца вектора состояний в пространстве состояний называется траекторией конца вектора состояний.

В пространстве состояний координатами вектора состояний являются переменные системы уравнений, записанные в нормальной форме Коши. (Описание системы дифференциальных уравнений 1-ого порядка называется описанием в нормальной форме Коши). Число векторов определяет порядок системы при этом координаты вектора состояний необязательно соответствуют реальным физическим величинам.

Описание системы в нормальной форме Коши является первичной моделью в системе пространства состояний.

Связь между и :

‚

Система - дифференциальных уравнений и система - алгебраических уравнений ‚ является математической моделью САУ в скалярной форме в пространстве состояний:

, где

, , , – параметры системы;

;

Другой формой описания САУ в пространстве состояний является векторно-матричная форма, которая имеет вид:

, где

– матрица динамики системы ;

– матрица входа ;

– матрица выхода ;

– матрица усиления по входу .

Уравнение динамики системы (эквивалентно уравнению ):

Уравнение выхода:

„

Вся информация о свойствах системы содержится в числовых таблицах – матрицах параметрах. При анализе и синтезе САУ можно опираться на стандартные преобразования этих таблиц.

Используя представления ƒ и „ или и ‚ можно определить САУ следующим образом: