Фононы и их распределение по энергиям

Классическая теория теплоемкости кристаллов. Закон Дюлонга-Пти

Тепловые свойства твердых тел.

Л Е К Ц И Я № 12

Частицы, из которых состоят твердые тела (атомы, ионы), не являются свободными, они участвуют в непрерывных гармонических колебаниях у положения равновесия в узлах кристаллической решетки (частицы – не идеальный газ).

Тогда W =W_k+W_p.

На каждую степень свободы частицы приходится одинаковая энергия .

 

У свободной частицы i = 3, для связанных частиц (АТТ) i = 6.

Тогда средняя энергия одной частицы:

 

 

Энергия 1 моля твердого вещества:

 

 

Молярная теплоемкость твердых тел:

 

- (12-1)

 

- закон Дюлонга-Пти:

молярная теплоемкость всех твердых тел ни от чего не зависит и является постоянной, равной 3R.

Трудности классической теории теплоемкости твердых тел:

1) Если для диэлектрика и определяется лишь частицами, находящимися в узлах кристаллической решетки, то в металлах, кроме частиц, находящихся в узлах решетки, есть еще и свободные электроны, для которых i = 3, тогда

.

 

Но эксперимент: !

 

2) Из закона Дюлонга-Пти не следует зависимость теплоемкости от температуры, хотя экспериментально такая зависимость наблюдается в области низких температур.

 

 

Объяснить эту зависимость классическая физика не смогла. Ответ был получен только в квантовой физике.

 

 

(распределение Бозе-Эйнштейна)

 

Атомы, ионы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, являются квантовыми гармоническими осцилляторами.

Из решения уравнения Шредингера следует, что энергия таких частиц квантуется.

 

 

Согласно принципу минимума энергии наиболее выгодное состояние – состояние с энергией W₀ – основное (невозбужденное) состояние.

При сообщении твердому телу дополнительной энергии происходит возбуждение осцилляторов – они переходят на более высокие уровни.

Но возбужденные состояния – короткоживущие. Пробыв в них короткое время, осцилляторы переходят на ниже лежащие состояния. При этом правило отбора утверждает, что

 

Dn = 1,

 

т. е. переходы происходят на соседний нижележащий уровень.

При этом осциллятор теряет энергию , которая уносится в виде низкочастотной тепловой волны по кристаллу.

Порцию (квант) такой тепловой волны по аналогии с порцией (квантом) электромагнитной волны – фотоном, назвали фононом.

Т. о. фонон – это квазичастица, так как существует только в твердом теле, не имеющяя электрического заряда, не существующая в покое, а всегда движущаяся со скоростью звука в твердом теле.

Энергия фонона:

. (12-2)

 

При этом для фононов нет запрета Паули, спин у них целочисленный s = 1, значит, они относятся к классу бозонов.

Функция распределения Бозе-Эйнштейна позволяет вычислить среднее число бозонов (фононов) из общего их числа, находящихся в данном квантовом состоянии или вероятность того, что данный фонон обладает энергией .

 

= . (12-3)

 

Другими словами функция распределения Бозе-Эйнштейна определяет вероятность заселения данного квантового состояния.

Графически

 

 

При ® » - классическое распределение Максвелла-Больцмана.

 

где - энергия осциллятора.

 

n = с энергией .

Т. к. энергия одного фонона , а их число в данном квантовом состоянии определяется (12-3), тогда средняя энергия одного квантового состояния гармонического осциллятора (средняя энергия всех фононов в данном квантовом состоянии):

. (*)