Непараметрические методы анализа структуры

Наряду с рассмотренным показателем для учета различия (подобия) структур возможно использование показателей корреляции. Но как правило воспользоваться обычными мерами измерения взаимосвязей (коэффициент корреляции Пирсона) невозможно, так как их применение предъявляет к анализируемым данным требование о нормальности. Выходом из положения является применение к имеющимся данным непараметрических методов, не предъявляющих требования о нормальности и большого числа единиц совокупности. В качестве непараметрических мер корреляции можно назвать коэффициент Спирмена, Гамма коэффициент, коэффициент Кендала-Тау и другие.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена носит имя английского психолога разработавшего данный коэффициент Ч.Спирмена (1863-1945).

Вначале определяют величину:

 

Далее определяют само значение коэффициента по формуле:

 

Приведенная формула пригодна в случае отсутствия объединенных ран­гов. Для распространения этой формулы на случай присутствия объ­единенных рангов необходимо определить для каждой ранжировки величину:

 

где т - число групп совпадающих рангов, n_k — число совпадающих рангов в k-ойгруппе (при отсутствии объединенных рангов m=n, n₁=n₂=...=n_n=1 и соответственно Т = 0).

С учетом последнего замечания ранговый коэффициент Спирмена между ранжировками R_x и Ry вычисляется по формуле:

 

Если Т_X и Т_Y являются небольшими относительно 1/6(n³-n), то можно воспользоваться приближенным значением:

 

Коэффициент корреляции Спирмена может принимать значения в интервале от -1 до +1. Чем ближе данный показатель приближается к единице, тем более непохожи структуры отчетного и базисного периода.

Значимость r оценивается с помощью t-статистики.

 

имеющей нормальное распределение при достаточно большом n (n ³10).

Нулевая гипотеза H0 состоит в том, что прямой корреляционной связи между структурой отчетного и базисного периодов не наблюдается. Следова­тельно, можно применить односторонний критерий при n-2 степенях свободы.

Коэффициент Кендэла. Для расчета данного коэффициента необходимо значения рангов R_x расположить в порядке возрастания. В соответствии с этим порядком располагаются и ранги Ry. Затем рассчитываются величины Р и Т.

Если для каждого ранга R_y определить число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину, то сумму таких превышений обозначают через Р.

Если для каждого ранга R_y определить число предшествующих ему значений рангов, превышающих его величину, то сумму таких пре­вышений обозначают через Т. Далее определяем величину S = Р - Т.

Коэффициент Кепдэла рассчитывается по формуле:

 

При достаточно больших п значения tи r приблизительно связаны следующим соотношением, r = 1,5´t.

При наличии объединенных рангов коэффициент Кендэла опре­деляется по формуле:

 

гдеU - поправочные коэффициенты, который вычисляются по формуле:

 

где m - число групп совпадающих рангов, n_k - число совпадающих рангов в k-ой группе (при отсутствии объединенных рангов m=n, n₁=n₂=...=n_n=1 и соответственно U = 0)

Значимость коэффициента t оценивается с помощью u-статистики:

 

имеющей нормальное распределение при достаточно большом n (n ³10).

Нулевая гипотеза H0 состоит в том, что прямой корреляционной связи между структурой отчетного и базисного периодов не наблюдается. Следова­тельно, можно применить односторонний критерий при n-2 степенях свободы.

 

 

Подсчет чисел Р и Т

• для R_Y = 1 число рангов R_Y, предшествующих 1 и больше, рав­но 0, а последующих за 1 и больше, равно 9,

• для R_Y = 2 число рангов R_Y, предшествующих 2 и больше, равно 0, а последующих за 2 и больше, равно 8;

• для R_Y = 7 число рангов R_Y, предшествующих 7 и больше, равно 0, а последующих за 7 и больше, равно 3;

• для R_Y = 5,5 число рангов R_Y, предшествующих 5,5 и больше, равно 1 (со знаком «-») (это R_Y = 7), а число рангов R_Y, последую­щих за 5,5 и больше, равно 3 и т. д.

RX	RY	Р	Т	Итого
			-1
			-2
			-2
			-1
			-1
Итого	К		-7	S = 31

Из таблицы следует, что коэффициент Кендэла равен 2´31/10´9 = 0,689