Асимптоты графика функции

Асимптотойкривой называ­ется прямая, расстояние до которой от точки, ле­жащей на кривой, стремится к нулю при неогра­ниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 16).

Асимптоты могут быть вертикальными, на­клонными и горизонтальными.

Рис. 16.

Говорят, что прямая х = а является вертикальной асим­птотойграфика функции у = f(x),если или , или .

Действительно, в этом случае непосредственно из рисун­ка 16 видно, что расстояние точки М (х; у)кривой от пря­мой х = а равно d = |х - а|. Если х→ а, то d → 0. Согласно определению асимптоты, прямая х = а является асимпто­той кривой у = f(x). Для отыскания вертикальных асим­птот нужно найти те значения х,вблизи которых функция f(x)неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точ­ки разрыва второго рода.

Уравнение наклонной асимптотыбудем искать в виде

y = kx + b. (11.5)

Найдем k и b.

Пусть М (х; у)- произвольная точка кривой у = f(x)

(см. рис. 17). По формуле расстояния от точки до

прямой находим расстояние от

точки М до прямой (11.5): .

Рис.17

Условие d → 0 будет выполняться лишь тогда, когда чис­литель дроби стремится к нулю, т. е.

(11.6)

Отсюда следует, что kx - у + b = α, где α= α(х) бесконечно малая: α →0 при х. Разделив обе части равенства у = b + kx - α на х и перейдя к пределу при х , получаем: .

Так как и ,

то . (11.7)

Из условия (11.6) находим b:

(11.8)

Итак,если существует наклонная асимптота у = kx + b, то k и b находятся по формулам (11.7) и (11.8).

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (11.7) и (11.8), то прямая (11.5) является наклонной асимптотой.

Если хотя бы один из пределов (11.7) или (11.8) не существует или равен бесконечности, то кривая у = f(x) наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если k = 0, то . Поэтому у = b - уравнение

горизонтальной асимптоты.

Замечание:Асимптоты графика функции у = f(x)при х и х могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (11.7) и (11.8) следует отдельно рассматривать случай, когда х и когда х .