Возрастание и убывание функций

Одним из приложений производной является ее применение к иссле­дованию функций и построению графика функции.

Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убыва­ния функции.

Теорема (необходимые условия).Если дифференцируемая на интервале (а; b) функция f(x) возрастает (убывает), то f '(x) ≥ 0 (f '(x)≤ 0) для x (а; b).

Рис. 7.

Геометрически теорема означает, что касательные к графику воз­растающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положи­тельным направлением оси Ох или в некоторых точках (на рисунке 6 в точке с абсциссой x₀) параллельны оси Ox.

Теорема (достаточные условия).Если функция f(x) дифференцируема на интервале (а; b) и f '(x) > 0 (f '(x) < 0) для x (а; b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; b).