Основные теоремы о непрерывных функциях.

Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = x₀ - точка разрыва функ­ции у = f(x),то в ней не выполняется, по крайней мере, одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки x₀, но не определена в самой точке x₀.

Например, функция у =не определена в точке x₀ = 2 (см. рис. 2).

Рис. 2.

 

2. Функция определена в точке x₀и ее окрестности, но не существует предела f(x)при х → x₀.

Например, функция

определена в точке x₀ = 2 (f(2) = 0), однако в точке x₀= 2имеет разрыв (см. рис. 3), т. к. эта функция не имеет предела при x → 2:

, a .

Рис. 3.

 

3. Функция определена в точке x₀и ее окрестности, существует ,но этот предел не равен значению функции в точке x₀:

.

Например, функция (см. рис. 4)

 

Здесь x₀ = 0 - точка разрыва: а g(x₀) = g(0) = 2.

 

Рис. 4.

 

Все точки разрыва функции раз­деляются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение 1. Точка разрыва x₀назы­вается точкой разрыва первого ро­дафункции у = f(x),если в этой точ­ке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. и . При этом:

а) если А₁= A₂, то точка x₀называется точкой устранимого разры­ва;

б) если A₁ ≠ А₂, то точка x₀называется точкой конечного разрыва. Величину |A₁- А₂| называют скачком функциив точке разрыва первого рода.

Определение 2. Точка разрыва x₀называется точкойразрыва второго родафунк­ции у = f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 2) у =, x₀ = 2 — точка разрыва второго рода.

2. Для функции

x₀ = 2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен || = 1

3. Для функции

при х₀ = 0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(х)= 1(вместо g(х)= 2) при х= 0, разрыв устранится, функция станет непрерывной.