Бесконечно большая функция (б.б.ф.)

Функция у = f(x)называется бесконечно большой прих → x₀, если для любого числа М > 0 существует число δ = δ(М) > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < |х - x₀| <δ, выполняется нера­венство |f(x)|> М. Записывают или f(x) →при х → x₀.

Коротко:

.

Например, функция есть б. б. ф. при х → 2.

Если f(x) стремится к бесконечности при x→x₀ и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то .

Функция y = f(x), заданная на всей числовой прямой, называется бес­конечно большой прих → , если для любого числа М > 0 найдется такое число N = N(M) > 0, что при всех х,удовлетворяющих неравенству |x| > N, выполняется неравенство |f(х)| > М. Коротко:

Функция у = f(x)называется бесконечномалой при х → x₀,если

(4.1)

По определению предела функции равенство (4.1) означает: для любого числа ε >0 найдется число δ >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х – x₀ | < δ, выполняется неравенство |f(x)| < ε.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми вели­чинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, β и т. д.

Примерами б. м. ф. служат функции у = х²при х → 0; у = х - 2 при х→2; у = sin х при х → πk, k Z.

Другой пример: х_п =, nN, — бесконечно малая последователь­ность.

Теорема.Функция f(x) имеем предел, равный А, тогда и только тогда, когда f(x) = A + α(x), где α(x) – бесконечно малая при x→x₀.