Общие теоремы динамики точки

Рис.14

Рис.13

Рис.12

Рис.11

Рис.10

 

Составим основное уравнение динамики для точки , где абсолютное ускорение . Поэтому уравнение будет таким или .

Но - переносная сила инерции, - кориолисова сила инерции. Поэтому основное уравнение динамики для относительного движения запишем так

. (7)

Спроектировав это векторное равенство на подвижные оси x₁, y₁, z₁, имея в виду, что проекции вектора ускорения на оси – есть вторые производные от соответствующих координат по времени, получим дифференциальные уравнения относительного движения

(8)

Сравнивая эти уравнения с дифференциальными уравнениями абсолютного движения, замечаем, что относительное движение материальной точки определяется такими же методами, что и абсолютное, надо лишь кроме обычных сил учесть переносную силу инерции и кориолисову силу инерции.

Если переносное движение поступательное, равномерное и прямолинейное, т.е. подвижная система инерциальная, то ускорение и . Значит и дифференциальное уравнение (8) будет точно совпадать с дифференциальным уравнением абсолютного движения. Следовательно, движение точки во всех инерциальных системах описывается аналогичными законами (отличаются только постоянными интегрирования, зависящими от начальных условий).

Поэтому невозможно установить, наблюдая за движением точки, движется система поступательно, равномерно и прямолинейно или находится в покое. Этот вывод впервые был сделан Г.Галилеем и называется его именем – принцип относительности Галилея.

 

Пример 7. Вагон движется с постоянным ускорением . Определим траекторию движения предмета М, упавшего с полки высотой h, которую увидит наблюдатель, пассажир, сидящий в вагоне (рис.11).

 

Порядок решения задачи тот же, что и при определении абсолютного движения. Только оси надо провести по вагону и учесть кроме веса предмета переносную силу инерции (кориолисова сила инерции – переносное движение поступательное).

Дифференциальные уравнения относительного движения получаются такими

Решение этих уравнений

Используя начальные условия (при t = 0: x₁ = 0, y₁ = h, , т.к. ), найдем постоянные интегрирования: , . Поэтому уравнения движения: Траекторию движения получим, исключив параметр t: Это уравнение прямой (рис. 11). Предмет М упадет на пол вагона на расстоянии от края полки (при ).

Если вагон будет двигаться равномерно (W = 0), то s = 0. Наблюдатель увидит траекторию – вертикальную прямую, такую же, как и при неподвижном вагоне.

 

Пример 8. Внутри трубки, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, находится шарик М, привязанный нитью длиной а к оси вращения (рис. 12). Определим движение шарика в трубке после того, как нить оборвется. Сопротивление воздуха учитывать не будем.

 

Траектория движения шарика в трубке – прямая. Поэтому для определения этого движения достаточно одной координаты х₁. Начало координат, точка О, - на оси вращения. В промежуточном положении на шарик действуют силы: вес , две составляющие реакции трубки . Добавляем переносную силу инерции кориолисову силу инерции и составляем дифференциальное уравнение движения: Или, после подстановки значения силы инерции и преобразований:

Решение такого дифференциального уравнения, как известно, имеет вид: и . Так как при t = 0 x₁ = 0, то С₁ +С₂ = а, С₁ – С₂ = 0. Значит и уравнение движения станет таким

Относительная скорость . А т.к. , то

Можно теперь определить относительную скорость шарика в любом положении. Так шарик вылетит из трубки длиной l со скоростью

 

 

Влияние вращения Земли на равновесие и движение тел.

При решении большинства технических задач мы считаем си­стему отсчета, связанную с Землей, неподвижной (инерциальной). Тем самым мы не учитываем суточное вращение Земли и ее движение по орбите вокруг Солнца. Таким образом, считая систему отсчета, связанную с Землей, инерциальной, мы по существу прене­брегаем ее суточным вращением вместе с Землей по отноше­нию к звездам. Это вращение происходит со скоростью: 1 оборот за 23 часа 56 минут 4 секунды, т. е. с угловой скоростью

.

Исследуем, как сказывается такое довольно медленное вращение на равновесии и движении тел.

1. Относительный покой на поверхности Земли. Сила тяжести. Рассмотрим материальную точку, лежащую на неподвижной относительно Земли гладкой «горизонтальной» плоскости (рис.13). Условие ее равновесия по отношению к Земле состоит в том, что , где - сила притяжения Земли, - реакция плоскости, -переносная сила инерции. Так как , то сила имеет только нормальную составляющую, направленную перпендикулярно к оси вра­щения Земли. Сложим силы и введем обозначение

.

 

Тогда на точку М будут действовать две силы и , уравно­вешивающие друг друга. Сила и представляет собою ту силу, ко­торую мы называем силой тяжести.

На­правление силы будет направлением верти­кали в данном пункте поверхности, а плоскость, перпендикулярнаяк и будет горизонтальной плоскостью. По модулю (r - расстояние точки М от земной оси) и величина малая по сравнению с , так как величина очень мала. Направление силы мало отличается от направления _.

При взвешивании тел мы определяем силу, т.к. именно с такой силой тело давит на тело весов. То есть, вводя в уравнения равновесия силу тяжести , мы вводим в них и силу , т.е. фак­тически учитываем влияние вращения Земли.

Поэтому при состав­лении уравнений равновесия тел по отношению к Земле ника­ких поправок на вращение Земли вводить не надо. В этом смысле равновесие по отношению к Земле можно считать абсолютным.

а) Движение по земной поверхности. При движении точки по меридиану в северном полушарии с севера на юг кориолисово ускорение направлено на восток, а сила - на запад. При движении с юга на север сила будет, очевидно, направлена на восток. В обоих случаях, как мы видим, эта сила будет отклонять точку вправо от направления ее движения. Если точка движется по параллели на восток, то ускорение будет направлено вдоль радиуса МС параллели (рис.14), а сила в противоположную сторону. Вертикальная составляющая этой силы (вдоль ОМ) будет несколько изменять вес тела, а горизонтальная составляю­щая будет направлена к югу и будет отклонять точку тоже вправо от на­правления движения. Аналогичный ре­зультат получим при движении по па­раллели на запад.

 

 

Отсюда заключаем, что в север­ном полушарии тело, движущееся вдоль земной поверхности по любо­му направлению будет вследствие вращения Земли отклоняться вправо от направления движения. В южном полушарии отклонение будет происхо­дить влево.

Этим обстоятельством объясняется то, что реки, текущие в северном по­лушарии, подмывают правый берег (закон Бэра). В этом же при­чина отклонений ветров постоянного направления (пассаты) и мор­ских течений.

 

Для решения многих задач динамики, особенно в динамике системы, вместо метода интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более удобным пользоваться так называемыми общими теоремами, являющимися следствиями основного закона динамики.

Значение общих теорем состоит в том, что они устанавливают наглядные зависимости между основными динамическими характери­стиками движения материальных тел и открывают тем самым новые возможности исследования движений механических систем, широко при­меняемые в инженерной практике. Кроме того, общие теоремы позво­ляют изучать отдельные, практически важные стороны данного явле­ния, не изучая явление в целом. Наконец, применение общих теорем избавляет от необходимости проделывать для каждой задачи те опе­рации интегрирования, которые раз и навсегда производятся при выводе этих теорем; тем самым упрощается процесс решения. Сейчас мы рас­смотрим, как выглядят эти теоремы для одной материальной точки.