Вынужденные колебания системы.
Рис.84
Рис.83
Следует заметить, что колебательный процесс не будет периодическим. Но, так как система проходит через положение равновесия через равное время, все-таки вводят понятие периода
Если сравнить этот период колебаний с периодом колебаний системы без сопротивления (3), увидим, что сопротивление увеличивает период колебаний и уменьшает их частоту.
Интересна закономерность изменения амплитуды. Найдем отношение соседних амплитуд (через полпериода ):
То есть амплитуды уменьшаются по закону геометрической прогрессии, знаменателем которой является величина .
Натуральный логарифм ее, равный называется логарифмическим декрементом колебаний.
Конечно, через период амплитуда уменьшится в раз, а через m периодов – в раз.
б) Случай большого сопротивления (n>k).
Корни характеристического уравнения получатся вещественными: В этом случае, как известно из курса математики, решение дифференциального уравнения (10):
(13)
Решение явно неколебательное, непериодическое.
Графики таких движений показаны на рис.84. Вид движения зависит от начальных условий и величины коэффициента сопротивления n.
в) Случай равного сопротивления (n = k).
Корни характеристического уравнения получаются равными: . Поэтому решение дифференциального уравнения
(14)
Движение и в этом случае не будет колебательным.
Если сила, которая вывела систему из положения равновесия, продолжает действовать, то такое колебание не будет свободным, будет вынужденным. И эта сила называется возмущающей силой.
Рассмотрим колебательное движение под действием обобщенной возмущающей силы, изменяющейся по гармоническому закону где - максимальная величина возмущающей силы; р – частота изменения силы; – начальная фаза изменения силы.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний получится таким
(15)
Решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения. Общее решение уже было получено в (7) или (8). Частное решение ищем в виде
Подставив его в дифференциальное уравнение (15), получим
Отсюда
(16)
Значит полное решение уравнения (15)
(17)
Так как общее и частное решения совершаются с разными частотами, то вынужденные колебания не будут гармоническими. Но, как нам уже известно, общее решение определяет свободные колебания, которые с течением времени довольно быстро затухают. Поэтому интерес представляют только установившиеся колебания:
(18)
Отсюда следует, что установившиеся вынужденные колебания будут гармоническими с частотой р, равной частоте возмущающей силы и, что они не зависят от начальных условий.
И, самое интересное, – амплитуда колебаний А зависит от частоты р возмущающей силы. График этой зависимости дан на рис.85.