Главные площадки и главные напряжения
Нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке зависят от ее положения, то есть от направляющих косинусов l, m, n.
Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю и действуют только нормальные напряжения, называются главными. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями.
Предположим, что наклонная площадка с направляющими косинусами l, m, n является главной, то есть вектор нормали к наклонной площадке совпадает с вектором полного напряжения. Тогда нормальное напряжение на этой площадке равно полному напряжению, а касательное напряжение равно нулю (рис.22). Проекции полного напряжения на координатные оси равны:
Px = s×l, Pу = s×m, Pz = s×n.
 |
Рис. 22
Используя выражения, полученные для наклонной площадки, - (31) и (32), имеем:
Px = sx×l + tyx×m + tzx×n = s×l,
Pу = txy×l + sy×m + tzy×n = s×m,
Pz = txz×l + tyz×m + sz×n = s×n.
В данных уравнениях четыре неизвестных (направляющие косинусы l, m, n и главное напряжение s), поэтому необходимо четвертое уравнение:
(sx - s)×l + tyx×m + tzx×n = 0,
txy×l + (sy - s)×m + tzy×n = 0, (35)
txz×l + tyz×m + (sz - s)×n = 0,
l2 + m2 + n2 = 1.
Система уравнений имеет ненулевое решение (нулевое не устраивает из-за четвертого уравнения системы), когда равен нулю главный определитель системы:
sx - s tyx tzx
txy sy - s tzy = 0. (36)
txz tyz sz - s
Раскроем определитель
(sx - s)×(sy - s)×(sz - s) + tyx×tzy×txz + txy×tyz×tzx - txz×(sy - s)×tzx - txy×tyx×(sz - s) -
- tyz×tzy×(sx - s) = 0.
sx×sy×sz - s×sy×sz - sx×s×sz + s2×sz - sx×s×sу + s2×sу + s2×sх - s3 + 2×txy×tyz×tzx –
- sy×txz2 + s×txz2 - sz×txу2 + s×txу2 - sх×tуz2 + s×tуz2 = 0.
Сгруппируем слагаемые по степеням главного напряжения
- s3 + s2×(sx + sy + sz) - s×(sy×sz + sx×sz + sx×sу - txz2 - txу2 - tуz2) +
+ (sx×sy×sz + 2×txy×tyz×tzx - sy×txz2 - sz×txу2 - sх×tуz2) = 0.
Запишем это уравнение в более компактной форме
s3 – I1×s2 + I2×s – I3 = 0, (37)
где I1 = sx + sy + sz,
I2 = sy×sz + sx×sz + sx×sу - txz2 - txу2 - tуz2,
I3 = sx×sy×sz + 2×txy×tyz×tzx - sy×txz2 - sz×txу2 - sх×tуz2 .
Введенные обозначения называются инвариантами напряженного состояния. Так как главные напряжения в точке являются физической характеристикой, то они не зависят от выбора системы координат, а, следовательно, и значения инвариантов также не зависят от выбора системы координат.
Решая кубическое уравнение (37), получим три вещественных корня – три главных напряжения, которые нумеруются в порядке убывания: s1 ³ s2 ³ s3. Подставляя величину главного напряжения в систему (35), можно определить положение главной площадки, т.е. определить ее направляющие косинусы. Три главных площадки в точке взаимно перпендикулярны.