II часть ККР

(для своего варианта)

 

При оценке параметров уравнения регрессии мы использовали МНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно случайной составляющей ei. Исследование остатков предполагает наличие следующих пяти предпосылок МНК:

1. Случайный характер остатков.

Чтобы проверить случайный характер остатков строим график зависимости ei от .

 


                                                   
 
 
   
         
 
 
   
     
 
 
 
     
 
       
 
 
 
   
 
         

 

 
-0,2

                                                 
 
   
 
   
 
   
 
                       
 

 


 

Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки представляют собой случайные величины и МНК оправдан.

Построив график, можно сделать вывод о случайном характере остатков (зависимость отсутствует), т.е. хорошо аппроксимирует фактические значения.

2. Нулевая средняя величина остатков, не зависящая от хj

 

Нужно проверить математическое ожидание . Зависимость отсутствует.

 

                                           
   
 
                     
 
 

 


                                         
   
   
 
 
     
       
 
 
 
   
   
       
       
 
 
 
 
 

 

 
-0,2

                                                         
 
   
 
   
   
 
 
   
 
   
 
                       
 

 


Из графика следует, что нет зависимости между и j, т.е. модель адекватна. Остатки независимы от значений х.

3. Проверка на гомоскедастичность.

При малых объемах выборки для оценки гетероскедастичности используется метод Гольдфельда – Квандта (1965 г.). Он рассматривает однофакторную линейную модель, для которой дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора. Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности необходимо:

1) упорядочить наблюдения по мере возрастания Х;

2) исключить из рассмотрения С центральных наблюдений (n-c):2>p, где р – число оцениваемых параметров;

3) разделение оставшейся (n-c) совокупности на 2 группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора Х), и определение для каждой группы уравнений регрессии:

4) определение остаточной суммы квадратов для первой (S1) и второй (S2) групп и нахождение R сравнивается с Fтабл.

№ х у х2 уx
622,9 4,9 388004,41 3052,21 5,404667 -0,50467 0,254689
5,2 3421,6 5,345795 -0,14579 0,021256
700,4 5,5 490560,16 3852,2 5,274679 0,225321 0,05077
740,6 5,6 548488,36 4147,36 5,207253 0,392747 0,15425
774,4 5,6 599695,36 4336,64 5,150561 0,449439 0,201995
816,2 5,3 666182,44 4325,86 5,080451 0,219549 0,048202
853,5 728462,25 4267,5 5,017889 -0,01789 0,00032
876,8 4,7 768778,24 4120,96 4,978809 -0,27881 0,077734
4,6 4,939896 -0,3399 0,11553
S 6942,8 46,4 5433135,2 35664,33 46,4 8,88Е-16 0,924746
Ср.зн. 771,4222 5,1556 603681,69 3962,703 5,155556 9,87Е-17 0,10275

 

 

№ х у х2 ху
4,2 5073,6 4,1239 0,0761 0,005791
1056,2 4,6 1115558,4 4858,52 4,747849 -0,14785 0,021859
1105,4 4,4 1221909,2 4863,76 4,54562 -0,14562 0,021205
1162,3 4,7 1350941,3 5462,81 4,311742 0,388258 0,150744
1200,7 4,7 1441680,5 5643,29 4,153905 0,546095 0,298219
1209,5 3,9 1462890,3 4717,05 4,117734 -0,21773 0,047408
1248,6 3,6 4494,96 3,95702 -0,35702 0,127463
1254,4 3,6 1573519,4 4515,84 3,93318 -0,33318 0,111009
1284,6 1650197,2 5138,4 3,809048 0,190952 0,036463
S 10729,7 37,7 44768,23 37,7 5,77Е-15 0,820163
Ср.зн. 1192,189 4,1889 1426106,9 4974,248 4,188889 6,14Е-16 0,091129
                       

 

R=0,820163/0,924746=0,8869, что не превышает табличное значение F-критерия 3,59 при 5 %-ном уровне значимости для числа степеней свободы 7 на 7, подтверждая тем самым наличие гомоскедастичности (R < F).

4. Отсутствие автокорреляции остатков.

Это значит, что остатки i распределены независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. i – текущие, j – предыдущие.Пусть j=i-1, n=20

j i i* j j2 i2
-0,5952 -0,211 0,125587 0,354263 0,044521
-0,211 0,1908 -0,04026 0,044521 0,0364405
0,1908 0,3872 0,073878 0,03605 0,149924
0,3872 0,4684 0,181364 0,149924 0,219399
0,4684 0,2687 0,125859 0,219399 0,0722
0,2687 0,0582 0,015638 0,0722 0,003387
0,0582 -0,1859 -0,01082 0,003387 0,034559
-0,1859 -0,2302 0,042794 0,034559 0,052992
-0,2302 0,2932 -0,06749 0,052992 0,085966
0,2932 0,8288 0,243004 0,085966 0,686909
0,8288 -0,3787 -0,31387 0,686909 0,143414
-0,3787 -0,3643 0,13796 0,143414 0,132714
-0,3643 -0,1447 -0,05271 0,132714 0,020938
-0,1447 0,0628 0,009087 0,020938 0,003944
0,0628 0,4993 0,031356 0,003944 0,2493
0,4993 0,5915 0,295336 0,2493 0,349872
0,5915 -0,1874 -0,11085 0,349872 0,035119
-0,1874 -0,3936 0,073761 0,035119 0,154921
-0,3936 -0,3796 0,149411 0,154921 0,144096
-0,3796 0,0928 -0,03523 0,144096 0,008612
0,8677 1,5557 0,873808 2,974843 2,629192
ср. зн. 0,043385 0,077785 0,04369 0,148742 0,13146

return false">ссылка скрыта

при 18 степенях свободы явно незначимо (F-отношение < 1) и демонстрирует отсутствие автокорреляции остатков.

 

5. Остатки подчиняются нормальному распределению.

 

Эта предпосылка позволяет проводить проверку параметров регрессии и корреляции с помощью t- и F-критериев. Даже если предпосылка не выполняется, МНК дает хорошие результаты.

Вывод: все предпосылки проверены, метод наименьших квадратов использован верно для расчета коэффициентов уравнения регрессии.

 

Библиографический список рекомендуемой литературы