Дифференциальное уравнение теплопроводности.

Изучение любого физического процесса связано с установле­нием зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача тепла теплопроводностью, при установлении зависимости между величинами удобно воспользоваться методами математической фи­зики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изу­чаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участ­вующими в передаче тепла теплопроводностью, устанавливается в этом случае так называемым дифференциальным уравнением теп­лопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бес­конечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величии, характеризующих процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения: физические величины λ, с_р и ρ постоянны; внутренние источники тепла отсутствуют; тело одно­родно и изотропно; используется закон сохранения энергии, ко­торый для данного случая формулируется следующим образом: разность между количеством тепла, вошедшим вследствие тепло­проводности в элементарный параллелепипед за время dτ и вышед­шим из него за то же время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема. В результате приходим к уравнению:

.

Величину называют оператором Лапласа и обычно обозначают сокращенно ²t (знак читается «набла»); величину λ/cρ называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой а. При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид

. (5-10)

Уравнение (1-10) называется дифференциальным уравнением теплопроводности, или уравнением Фурье, для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников тепла. Оно является основным уравнением при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты тепло­проводностью и устанавливает связь между временным и пространст­венным изменениями температуры в любой точке поля.

Коэффициент температуропроводности а = λ/cρ является физическим параметром вещества и имеет единицу измерения м²/c. В нестационарных тепловых процессах величина а характеризует скорость изменения температуры. Если коэффициент теплопроводностихарактеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности а есть мера теплоинерционных свойств тел. Из уравнения (1-10) следует, что изменение температуры во времени ∂t / ∂τ для любой точки тела пропорционально величине а.Поэтому, при одинаковых условиях быстрее увеличится температура у того тела, которое имеет больший коэффициент температуропроводности. Газы имеют малые, а металлы – большие значения коэффициента температуропроводности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками теплоты внутри тела будет иметь вид

, (5-11)

где q_v — количество выделяемой теплоты в единице объема веще­ства в единицу времени, с — массовая теплоемкость тела, ρ — плотность тела.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндричес­ких координатах с внутренним источником теплоты будет иметь вид

, (5-12)

где r — радиус-вектор в цилиндрической системе координат; φ — угол.