Базовая модель конвективного переноса

Классификация по факторам взаимодействия

Классификация метамоделей

Достоинства метамодели

Нереалистичность метамодели

Требования к моделям

Моделирование

Виды Моделей

- вещественные(стендовые двигатели);

- абстрактные:

· Физические –наши представления о реальных объектах;

· Математические – представления в виде количественных отношений.

Многофакторность процессов взаимодействия+факторы субъективностимногофакторность решаемой задачи.

- создание уравнений, описывающих количественное понимание объекта;

- численное исследование (эксперимент) поведения объектов (явлений), описанных уравнениями.

- простота;

- полнота;

- точность.

Метамодель - это база знаний (греч. meta — после, за, через; первая составная часть сложных слов, обозначающая следование за чем-либо, переход к чему-либо другому, перемену состояния, превращение)

- неполнота имеющихся знаний;

-ограниченность понимания и изменчивость знания;

- сложность представления.

-стремление к сложности;

-стимулирование развития моделирования;

-фундаментальность моделей;

-гарантия истины;

-помощь в классификации моделей.

Метамодель

К-фаза

Луч. пер.

Крупнодисперсн.

Мелкодисперсн.

Базовые модели (без частных ограничений)

Приближения (с ограничениями частного характера)

Конв. пер.

Конд. пер.

Хим. взаимод.

Фаз. пер.

Сублим.

Испар.

Конденс.

Базовая модель – это такая форма модели, которая отображает процессы и явления, происходящие в сплошной среде. Это в некоторой степени альтернатива метамодели.

– параметры в представлении сплошной среды, феноменологические величины, не учитывающие явление колебания частиц.

В основе концепции сплошной среды лежат фундаментальные уравнения:

1. Сохранения энергии

2. Сохранения массы

3. Сохранения движения

Общая постановка задачи

Лекция 5

Далее рассматривается ряд вопросов, касающихся проблемы и методологии разрешения математических моделей и решения поставленной задачи, конечной целью которой является определение термомеханического состояния конструкции.

Расчетная схема задачи

Расчетная схема тепловой задачи представляется в общем виде в направлении, перпендикулярном движению рабочего тела как совокупность отдельных вещественных N-областей. Это области различной природы, состояния, механизмов переноса.

1,2 – области течения ПС, разнородные по составу и свойствам;

3,4,5 – разнородные слои многослойной стенки, включая несущую стенку и функциональные покрытия;

6 – течение охлаждающей среды;

7 – рубашка охлаждения;

8 – покрытие;

9 – окружающая среда;

А – граница решения;

В – линия раздела областей (внутренняя граница)

Непрерывное решение по всем областям – сложная проблема. Проблема обычно удовлетворительно преодолевается решениями для каждой из областей в отдельности по соответствующим моделям при учете реакций соседних областей в виде адекватных граничных условий на разделяющих поверхностях (В).

Адекватность ГУ устанавливается методом последовательных приближений решений на их сходимость в пределах установленной погрешности.

Таким образом осуществляется декомпозиция общей задачи расчета на отдельные задачи по областям или сочетаниям областей с последующим их «сшиванием».

Условия однозначности решения

Математическая модель – это система уравнений, состоящая из переменных величин (в том числе термодинамических параметров процесса) и параметров физических свойств среды, зависящих от первых. Решение дифференциальных уравнений требует внесения ряда дополнительных условий – условий однозначности.

Условия однозначности (УО) включают в себя 4 вида:

-физические условия(связь физических свойств с переменными);

-геометрические условия(границы области решения);

-временные или начальные условия (НУ);

-граничные условия (значения переменных на границах решения, ГУ).

Два последних вида получили название краевых условий и являются по сути аналогами констант интегрирования.

Таким образом, модель в целом представляет из себя систему основных уравнений и совокупность дополнительных уравнений, удовлетворяющих УО и замкнутости решения

Моделирование в обобщенных переменных

Замена или преобразование переменных – часто используемый прием при решении разнообразных уравнений математической физики с целью их упрощения и приведения к виду, удобному для разрешения, представления и пользования. Существуют разнообразные способы замены и преобразования переменных.

В области тепло- и массопереноса преобразование переменных осуществляется на базе теории подобия и размерности.

Сущность метода заключается в приведении уравнений или установленных опытом закономерностей к безразмерному виду путем соотнесения натуральных размерных физических переменных к некоторым выбранным масштабным значениям с последующей группировкой последних в совокупности с параметрами и константами задачи в безразмерные комплексы, называемые числами подобия, приобретающие смысл обобщенных переменных.

Так, например, модель конвективного теплопереноса в несжимаемой жидкости с постоянными свойствами, представленная в виде:

при граничных условиях: может быть преобразована к виду, по структуре похожему на предыдущий:

Здесь все переменные, как независимые, так и зависимые, представляют собой безразмерные величины, отнесенные к своим масштабам , а безразмерные комплексы – критериальные числа:

– число Фурье;

– число Пекле;

– число Фруда;

– число Эйлера;

– число Прандтля;

– число Рейнольдса;

– число Нуссельта.

Ограничения:

- нерелятивистский подход;

- отсутствие химических реакций;

- отсутствие электромагнитного взаимодействия;

- отсутствие внешней механической работы;

-отсутствие притока массы.

1. Уравнение сохранения вещества (неразрывности)

2. Уравнение сохранения движения

3. Уравнение энергии

- тензор напряжений;

- тензор скоростей деформации;

-поток теплоты;

- объемный приток тепловой энергии;

– инерционная сила массовой природы

Тип А: - сплошная недеформированная среда (твердое тело)

Тип В: Модель деформируемой среды (Ньютоновская жидкость)

Тензор деформации

– тензорная единица;

- сумма нормальных напряжений, возникающих в среде.

Раздел 2. Расчет теплоотдачи и тепловых потоков в трактах двигателя

Лекция 6

Постановка задачи расчета тепло- и массообмена в трактах двигателя и проблема решения

Цель расчета – получение граничных условий для теплоотдачи.

Задачи, решаемые для достижения цели:

- идентификация объекта расчета – расчетная схема;

- выбор модели;

- установление ГУ;

- выбор методики расчета;

- проведение расчетов теплоотдачи и тепловых потоков.

Математическая модель конвективного переноса

· Базовая модель

-другие приближения

1) Постоянство теплофизических свойств среды.

2) Двухмерная или одномерная постановка задачи.

3) Комбинации отдельных приближений.

Проблемы решения

1) Аналитическое решение (академический интерес).

2) Приближенное аналитическое решение (ограничеснное применение в инженерной практике).

3) Приближенное полуэмпирическое решение (применение эмпирических данных о природе турбулентности).

4) Решение по феноменологическим (эмпирическим ) моделям.

5) Численные методы (инструмент).

Основные следствия и приложения теории пограничного слоя

Лекция №7

Область исследования феномена пограничного слоя имеет многолетнюю историю и чрезвычайно обширна по объему и разнообразию. Ввиду особой важности и плодотворности модели пограничного слоя в расчетной практике, остановимся на некоторых основных прикладных следствиях этой теории, имеющих непосредственное отношение к тепловым инженерным расчетам.

Пограничный слой (ПОС) существенно неоднороден по своей микроструктуре и менее не однородны по своим макропараметрам. Существует несколько структурных моделей как для ламинарного так и турбулентного ПОС. Для турбулентного ПОС известна наиболее простая и достаточно удовлетворительная 2^х-слойная модель: турбулентное ядро и тонкий вязкий подслой, непосредственно прилегающий к омываемой поверхности. Иногда используют 3^х-слойную модель, в которой турбулентное ядро подразделяется на два отдельных слоя. Границы слоев как и граница ПОС в целом достаточно расплывчаты и условны, определяются в основном режимом течения и целым рядом других факторов. При этом различают динамический, тепловой и пограничный слой концентрации. С точки зрения практических расчетов важны следующие основные следствия теории ПОС.

Модель турбулентности

Основная проблема решения уравнений турбулентного ПОС – определение компонент тензора турбулентных напряжений, а также компонент векторов турбулентного переноса энергии и концентрации веществ для замыкания системы уравнений. В основу решения этой проблемы положена концепция формальной увязки этих дополнительных членов уравнений с градиентами основных переменных и параметров процесса с соответствующими коэффициентами пропорциональности по аналогии с известными гипотезами переноса в сплошной среде. Так, согласно Бусинею, предлагаются следующие связи:

;

где: μ_т, λ_т, D_т – соответствующие коэффициенты пропорциональности, вводимые по аналогии с ламинарным течением; ε_τ, ε_q и ε_f – коэффициенты турбулентного переноса импульса, теплоты и массовой концентрации соответственно.

Отношения значений коэффициентов турбулентного переноса получили названия турбулентных чисел Прандтля, Шмидта и Льюиса соответственно:

; ; . .

На основе этой концепции и гипотезы о некотором масштабе турбулентности ℓ = χy – «пути смешения», как основном внутреннем макропараметре, характеризующем геометрическую структуру турбулентности Прандтлем для режима развитого турбулентного течения была предложена простая модель турбулентности:

где: ℓ = χy – масштаб турбулентности;

χ – некоторая универсальная константа (первая константа турбулентности).

По многочисленным опытам ее значение равно χ = 0,4, а характер распределения ℓ по толщине ПОС близок к линейному.

Аналогично представляются и остальные компоненты турбулентного переноса:

где ℓ₁ и ℓ₂ – масштабы для переноса энергии и концентрации, обычно приравниваемое к значению ℓ.

На базе модели Прандтля был разработан целый ряд других более сложных моделей. Так, например, широко распространена модификация пути смешения с поправкой Ван-Дрейста:

где: , А = 26 – эмпирическая сонстанта, – «скорость трения».

Известны также модели более высокого уровня, вплоть до известной К-ε модели Колмогорова, с дополнительным уравнением переноса турбулентных параметров, где:

– кинетическая энергия турбулентности;

– скорость диссипации кинетической энергии турбулентности.

Решая таким формальным образом проблему замкнутости системы уравнений, можно cгруппировать соответствующие потоки различной молекулярной и молярной природы и представить их эффективными значениями по следующей схеме:

Эффективные значения коэффициентов переноса трактуются, как суммарные эффекты долевого участия явлений молекулярного и молярного турбулентного переноса, доля каждого из них в результирующем эффекте зависит от режима течения. В области чисто ламинарного режима течения турбулентные составляющие приравниваются нулю, в области развитого турбулентного течения доля молекулярных сил ничтожно мала, в области переходных режимов течения Re ≈ 2 · 10³… 2 · 10⁵ действия сил молекулярной и молярной (турбулентной) природы сопоставимы.

Динамический пограничный слой

На основании гипотезы Прандтля о постоянстве касательных напряжений в окрестности стенки, хорошо удовлетворяющий опытным данным, можно теоретическим путем получить профиль скоростей для классического случая безградиентного течения несжимаемой жидкости в предельно развитом турбулентном режиме.

Согласно модели турбулентности Прандтля:

после интегрирования при условии получаем логарифмическую зависимость:

, где – «скорость трения».

Константа интегрирования находится из условия на границе ламинарного подслоя: при . Соблюдая правила размерности сформируем величину толщины ламинарного подслоя y_л в виде и преобразует формулу скорости к виду:

или: ,

где: ; ; .

Полученная зависимость безразмерной скорости получила название логарифмического профиля скоростей. Опыты Шлихтинга по исследованию ламинарного подслоя позволили получить значения η_л = 11,6, что соответствует β = 0,111 и D₁ = 2,2. Принимая значение первой константы турбулентности равным χ = 0,4 формула логарифмического закона скоростей получает известный вид:

Многочисленные опыты прекрасно подтверждают эту закономерность в пределах турбулентного ядра пограничного слоя в диапазоне . В нижней области справедлив линейный закон распределения скоростей.

При отклонении от условий классического случая, например, при умеренных числах Re, когда вязким трением пренебречь нельзя, профили скоростей рекомендуется представлять степенными зависимостями; для которых логарифмический профиль является огибающей кривой:

n	1/7	1/8	1/9	1/10
	8.74	9.71	10.6	11.5

Известны и другие более сильные зависимости для профиля скоростей реальных задач. Например, для шероховатых поверхностей: для шероховатых поверхностей профиль может быть представлен в модифицированной логарифмической форме

где: , Δ – шероховатость.

где: с – эмпирическая константа;

n – степенной показатель, принимающий значения n = 1/6…1/10 в диапазоне реальных чисел Re. Логарифмический профиль является кривой огибающей степенные зависимости.

Тепловой пограничный слой

Тепловой пограничный слой в общем случае не совпадает с динамическим, что определяется для ламинарных потоков числом , для развитых турбулентных течений – числом , а для промежуточных режимов – их сочетанием.

При малых скоростях течений динамические процессы независимы от термических за исключением переменности свойств, тогда как термические процессы обусловлены динамикой потока. При больших скоростях течений эти явления теснейшим образом взаимосвязаны. Наблюдаются взаимные превращения кинетической энергии в тепловую и обратно. В этом случае следует рассматривать в качестве характерных или определяющих не термодинамические параметры течения, а параметры торможения:

;

Если провести преобразования

то ,

Применительно к пограничному слою, эти взаимные преобразования сопровождаются рядом специфических эффектов. По мере торможения за счет вязких сил в потоке происходит восстановление Т или h у стенки сопровождающееся ростом термодинамической температуры и существенным изменением теплофизических свойств среды, наблюдается диссоциация продуктов сгорания и перетечки теплоты в зону меньших температур с необратимой потерей (диссипацией) энергии. Эта необратимая часть потерь учитывается «коэффициентом восстановления температуры» (энтальпии) r при кинетической составляющей параметра торможения:

Очевидно, что из-за этих потерь температура адиабатно заторможенного потока на стенке (на «адиабатной стенке») не восстановится до температуры торможения в ядре потока , а достигнет лишь некоторого значения, называемого «температурой адиабатной стенки»:

Коэффициент восстановления определяется как отношение:

Точное значение этого коэффициента определяется многими факторами, однако для расчетов вполне удовлетворительно используется рекомендация:

для ламинарного потока ;

для турбулентного потока .

В действительности условия «адиабатной стенки» не реализуются, любой процесс протекает с теплообменом между потоками газа и стенкой. Истинное температурное поле у стенки может быть условно представлено суммой 2^х полей, одно из которых обусловлено описанным выше явлением и собственным выделением теплоты трения при торможении газа на стенке, а второе – теплообменом между газом и стенкой, хотя оба эти процессы взаимосвязаны. Тепловой поток в этом случае должен определятся более корректно через разницу между «температурой адиабатной стенки» и истинной (реализуемой) температурой стенки (или наоборот, в зависимости от направления теплового потока).

Аналогия Рейнольдса

Сходственность явлений одной природы именуется подобием, сходственность явления различной природы именуется аналогией. Для несжимаемой жидкости в классическом стационарном, безградиентном течении ( ) на плоской пластине при Cр = const уравнения импульса и энергии в пограничном слое могут быть преобразованы к виду:

В случае Pr = 1 и =1 обнаруживается полная сходственность записи обоих уравнений, что указывает на факт формального подобия распределения скоростей и температур в сечениях по нормали к стенке:

После дифференцирования этого равенства и положив у = 0 запишем: .

Для значений на стенке (у = 0) вводим переменные:

и ,

после чего уравнение может быть приведено к виду:

где в левой части стоит безразмерная величина трения, а в правой – безразмерный тепловой поток.

Таким образом, - есть закономерность, известная под названием «аналогия Рейнольдса».

Подобным же образом устанавливается аналогия и для процессов тепло и массопереноса при условии равенства чисел Льюиса:

Этот феномен известен под названием тройной аналогии:

где: – безразмерный коэффициент теплоотдачи;

– безразмерный коэффициент диффузии.

Для реальных течений, когда не соблюдаются условия Pr = Pr_т =Le = Le_т = 1 вводится поправка-фактор S, и обобщенная аналогия Рейнольдса приобретает вид:

Для фактора аналогии Рейнольдса в этом случае рекомендуется зависимость:

Лекция №8

Интегральные параметры пограничного слоя

Проблема выбора и применения соответствующих моделей процессов выражается в возможности решения соответствующей системы уравнений относительно искомых величин наиболее простым и экономичным способом. Многолетний опыт развития методов решения уравнений ПОС привел к появлению интегральных параметров (ИП) ПОС как инструмента практических расчетов, а также как физических характеристик ПОС в разнообразных исследованиях. Приоритет внедрения интегральных параметров принадлежит карману.

Идея заключается в следующем. Уравнение движения несжижаемого ПОС в совокупности с уравнением движения идеальной жидкости в ядре потока, а также уравнением неразрывности путем элементарных преобразований и последующего интегрирования поперек ПОС от стенки до бесконечного предела приводится к виду, например для плоского ПОС :

где значок ∞ означает значение величин в поле потенциального течения вне пограничного слоя.

Каждый из интегралов может быть преобразован к виду:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

где ρ_w и υ_w – плотность и скорость вдуваемого газа на проницаемой стенке.

В результате уравнение движения приобретает компактный вид:

где – интегральный параметр, получивший название толщины вытеснения.

– интегральный параметр, получивший название толщины потери импульса.

Физический смысл δ^* – вполне определенная линейная величина (толщина), в отличие от неопределенности толщины ПОС, характеризующая потерю (недобор) расхода идеальной жидкости в сечении из-за деформации поля скорости из-за тормозящего действия сил трения. Физический смысл δ^** – линейная величина, характеризующая потерю количества движения за счет сил трения. Аналогично этим интегральным параметрам вводятся интегральные параметры теплового и диффузионного ПОС:

– толщина потери энергии (энтальпии), линейная величина, характеризующая перенос тепловой энергии через стенку на всем протяжении ПОС до текущего значения координаты.

– толщина потери вещества линейная величина, характеризующая перенос вещества k-го компонента через поверхность стенки на всем протяжении ПОС.

Ценность введенных интегральных параметров заключается в том, что, в отличие от толщины ПОС, они не связаны с представлениями ПОС конечной толщины, которая не может быть установлена абсолютно точно. С точки зрения расчетов, введение интегральных параметров переводит уравнения ПОС в частных производных в диф. уравнения в полных производных по продольной координате, т.е. понижает ранг уравнений и тем существенно облегчает процедуру решения.

Методология приближенного полуэмпирического расчета конвективного тепло-и массообмена по модели пограничного слоя в интегральных параметрах

Общий вид модели переноса

Модель тепломассопереноса в пограничном слое широко распространена в инженерных задачах и в самом общем виде для случая стационарного осесимметричного течения сжимаемого газа, может быть представлена системой уравнений:

· уравнение импульса:

;

· уравнение энергии:

;

· уравнение диффузии химически нейтрального k-го компонента смеси:

где: – толщина вытеснения;

– толщина потери импульса;

– толщина потери энергии;

– толщина потери k-го компонента;

∆h = h_r – h_w;

∆с_к = с_к∞ – с_к_{w ,}

ρ_* – формально вводимые значения плотности из условия формирования интегральных параметров.

Уравнение импульса получено в предположении отсутствия массовых сил, уравнение энергии – в допущении несущественности диссипативных сил (N_in = 0), что является вполне реалистичным для режимов интенсивного течения газа и теплообмена.

Достаточно компактная запись исходных уравнений в частых случаях или в развернутом виде может приобретать различные формы записи. Так, для случая течения несжимаемой жидкости в канале постоянного сечения (ρ = const, R = const) первые два уравнения приводятся к виду:

;

где: – коэффициент трения;

– безразмерный коэффициент теплоотдачи;

H = δ^* / δ^** – первый формпараметр пограничного слоя;

– формпараметр потока, характеризующий градиентность течения;

– параметр вдува;

– тепловой параметр вдува.

Для случая только R = const эти уравнения могут быть преобразованы путем перегруппировки переменных, например, к виду:

;

где: ; ; ;

μ_* – формально вводимое значение вязкости по условию формирования чисел Re;

; L – характерный линейный масштаб задачи, например, диаметр или длина тракта.

Очевидно, что исходная система уравнений незамкнута, т.к. число неизвестных: δ^*, δ^**, , , τ_w, q_w, j_к_w превышает число уравнений. Проблема замыкания может быть решена установлением дополнительных связей между неизвестными, а именно между интегральными параметрами и коэффициентами переноса (c_f, St) на основании следующих соображений. По своей природе каждый интегральный параметр характеризует величину соответствующей переносимой субстанции, так δ^** – характеризует интегральную величину трения на контуре, – интегральную потерю энергии (передачу теплоты). В тоже время переносные свойства: коэффициенты трения и теплообмена также характеризуют, соответственно, потери на трение и передачу теплоты, так что устанавливаемые связи вполне закономерны. Наиболее простые закономерности объективных взаимосвязей интегральных параметров с коэффициентами переноса могут быть получены эмпирическим или полуэмпирическим путем для стандартного или эталонного случая обтекания пластины несжимаемым безградиентным (U = const) потоком при постоянной температуре стенки. Эти закономерности получили наименование «закона трения», и «закона тепло- и массообмена» соответственно.

В случае же отклонения реальных потоков от эталонного установлена определенная степень консервативности этих связей относительно изменения граничных условий. Так отношения δ^**/c_f и /St в турбулентных течениях сравнительно слабо зависят от распределения скорости и энтальпии как поперек пограничного слоя, так и вдоль потока. Дозвуковые и сверхзвуковые течения сжимаемого газа при отсутствии скачков уплотнения качественно схожи с течением несжимаемых сред, однако имеют количественные отличия, обусловленные главным образом зависимостью свойств среды поперек пограничного слоя от температуры. Таким образом, эталонные законы могут быть распространены на более сложные случаи. Более того, в качестве базовых могут быть приняты данные для несжижаемой жидкости с постоянными физическими свойствами с последующей их корректировкой на другие условия и состояния физических сред.

По тому, каким способом осуществляется коррекция эталонных законов, в практике расчетов сложились два подхода или две школы:

· на основе относительных законов – школа Кутателадзе-Леонтьева;

· на основе определяющей температуры – школа В.М. Иевлева.