Тема 1. Задачи эконометрики в области социально-экономических исследований. Основные этапы эконометрического моделирования.
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ
Каждый вариант контрольной работы содержит 3 задачи по основным темам курса эконометрики. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который соответствует начальной букве его фамилии (см. таблицу 1).
Таблица 1.
| Начальная буква фамилии студента | Номер варианта контрольной работы |
| А, Б, В, Г, Д | Вариант 1 |
| Е, Ж, З, И | Вариант 2 |
| К, Л, М | Вариант 3 |
| Н, О, П, Р | Вариант 4 |
| С, Т, У, Ф | Вариант 5 |
| Х, Ц, Ч, Ш, Щ | Вариант 6 |
| Э, Ю, Я | Вариант 7 |
При выполнении контрольной работы надо соблюдать следующие правила:
1. указывать вариант контрольной работы;
2. расчеты производить с помощью компьютерных пакетов (Excel, Statistica, SPSS, и др. по выбору студента);
3. представлять решения задач подробно, со всеми формулами, расчетами и пояснениями.
4. проверять правильность примененных методов решения задач;
5. формулировать четкие, грамотные, обоснованные выводы;
6. в конце контрольной работы необходимо привести перечень использованной литературы и поставить свою личную подпись;
7. кроме распечатанного варианта контрольной работы необходимо представить дискету с файлом расчетов.
Контрольная работа, выполненная не по своему варианту, не зачитывается.
Выполненная контрольная работа представляется в университет для рецензирования. Правильно выполненная работа зачитывается. Если по зачтенной работе рецензентом будут сделаны замечания, необходимо разобраться в них, внести требуемые исправления и представить соответствующие доработки преподавателю.
Студенты, не получившие зачет по контрольной работе, к сдаче экзамена не допускаются. На экзамене студенты должны быть готовы ответить на вопросы преподавателя по решению задач контрольной работы.
Тема 1. Задачи эконометрики в области социально-экономических исследований. Основные этапы эконометрического моделирования.
Название «эконометрика», введенное норвежским экономистом и статистиком Рагнаром Фришем, в буквальном переводе означает «измерения в экономике». Единое общепринятое определение эконометрики в настоящее время отсутствует, поэтому приведем высказывания известных ученых, дающие представление об этой науке.
«Эконометрика – это раздел экономики, занимающийся разработкой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными» (Р.Фишер и др.)
Э.Маленво интерпретировал эконометрику как «любое приложение математики или статистических методов к изучению экономических явлений».
Существует и более узкая трактовка эконометрики. «Эконометрика - самостоятельная экономико-математическая научная дисциплина, позволяющая на базе положений экономической теории и исходных данных экономической статистики, используя необходимый математико-статистический инструментарий, придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией» (Айвазян С.А., Мхитарян В.С.).
Из сказанного выше следует, что главное назначение эконометрики – модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, существующих между анализируемыми показателями.
В соответствии с целями можно выделить две основные задачи, решаемые с помощью эконометрики: прогноз экономических и социально-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие изучаемой системы; моделирование возможных сценариев социально-экономического развития изучаемой системы.
Существует три основных класса моделей, которые применяются для анализа или прогноза.
1. Модели временных рядов, включающие модели:
- тренда: y(t) = T(t) + et, где T(t) – временной тренд заданного параметрического вида, et - случайная компонента;
- сезонности y(t) = S(t) + et, где S(t) – периодическая (сезонная) компонента, et - случайная компонента;
- тренда и сезонности y(t) = T(t) + S(t) + et, (аддитивная);
y(t) = T(t)·S(t) + et, (мультипликативная);
2. Регрессионные модели с одним уравнением
В таких моделях зависимая переменная y представляется в виде функции y = f(x1,… , xn), где x1, … , xn - независимые (объясняющие) переменные. В зависимости от вида функции f(x1,… , xn) модели делятся на линейные и нелинейные.
3. Системы одновременных уравнений
Эти модели описываются системами одновременных уравнений, которые могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может, кроме объясняющих переменных, включать в себя также объясняемые переменные из других уравнений системы.
Примером системы одновременных уравнений является модель спроса и предложения, когда объем спроса на товар (Qd) определяется его ценой (P) и доходом потребителя (I), объем предложения (Qs) – его ценой (P) и достигается равновесие между спросом и предложением:
При эконометрическом моделировании мы встречаемся с двумя типами данных: пространственные данные (набор показателей экономических переменных в один и тот же момент времени) и временные ряды (серия наблюдений одной и той же случайной величины в последовательные моменты времени).
Весь процесс эконометрического моделирования можно разделить на шесть основных этапов:
- постановочный (на этом этапе формируется цель исследования, определяется набор участвующих в модели экономических переменных);
- априорный (проводится анализ экономической сущности изучаемого объекта, формирование и формализация известной до начала исследования (априорной) информации);
- параметризация (осуществляется непосредственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава переменных и формы их связи);
- информационный (собирается необходимая статистическая информация -
наблюдаемые значения экономических переменных);
- идентификация модели (на .том этапе проводится статистический анализ модели и оценка ее параметров);
- верификация модели (проверяется истинность, адекватность модели, т.е. соответствие моделируемому реальному экономическому объекту).
На первых трех этапах весьма важной является проблема спецификации модели, включающая выражение в математической форме выявленных связей и соотношений, установление состава объясняющих переменных (в том числе и лаговых), формулировка исходных предпосылок и ограничений модели и ряд других вопросов. Спецификация опирается на имеющиеся экономические теории, специальные знания, а также на интуитивные представления об анализируемом экономическом объекте.
От проблемы идентификации модели (которая заключается в выборе и реализации методов статистического оценивания ее неизвестных параметров) следует отличать проблему ее идентифицируемости, т.е. проблему возможности получения однозначно определенных параметров модели, заданной системой одновременных уравнений.
Широкому внедрению эконометрических методов способствовало развитие информационных технологий. Компьютерные эконометрические пакеты сделали эти методы более доступными. Наиболее трудоемкая работа по вычислению различных статистик, параметров, построению таблиц и графиков в основном выполняется компьютером, а исследователю остается работа по постановке задачи, выбору соответствующей модели и метода ее решения, а также интерпретации результатов.
Тема 2. Классическая и обобщенная линейные модели множественной
регрессии.
Экономические явления определяются, как правило, большим числом совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной переменной Y от нескольких объясняющих переменных X1, X2, …,Xn. Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.
Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спе-цификации модели, включающего отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:
- они должны быть количественно измеримы (качественным факторам необходимо придать количественную определенность);
- между факторами не должно быть высокой корреляционной, а тем более функциональной зависимости, т.е. наличия мультиколлинеарности.
Включение в модель мультиколлинеарных факторов может привести к следующим последствиям:
· затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом виде», поскольку факторы связаны между собой; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;
· оценки параметров ненадежны, имеют большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений.
Пусть Y=(y1, y2, …,yn)т – матрица-столбец значений зависимой переменной размера n;
– матрица значений объясняющих переменных;
β=(β0, β1, …,βm)т – матрица-столбец (вектор) параметров размера m+1;
ε=(ε1, …, εn)т – матрица-столбец (вектор) остатков размера n.
Тогда в матричной форме модель множественной линейной регрессии запишется следующим образом:
Y = Xβ + ε. (1)
Оценка этой модели по выборке:
Y = Xb + e, (2)
где b=(b0, b1, …,bm)т – матрица-столбец (вектор) оценок параметров размера
Для оценки параметров уравнения регрессии (вектора b) применяется метод наименьших квадратов (МНК). При этом делаются определенные предпосылки:
1. В модели (1) ε – случайный вектор, X – неслучайная (детерминированная) матрица.
2. Математическое ожидание величины остатков равно нулю: М(ε)=0n.
3. Дисперсия остатков εi постоянна для любого i (условие гомоскедастичности), остатки εi и εj при i≠j не коррелированы: М(εεТ)=σ2En.
4. ε – нормально распределенный случайный вектор, т.е. ε~N(0n; σ2En).
5. r(X) = m+1<n. Столбцы матрицы Х должны быть линейно независимыми (ранг матрицы Х максимальный, а число наблюдений n превосходит ранг матрицы).
Модель (1), в которой зависимая переменная, остатки и объясняющие переменные удовлетворяют предпосылкам 1-5 называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии. Если не выполняется только предпосылка 4, то модель называется классической линейной моделью множественной регрессии (КЛММР).
Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений от значений, найденных по уравнению регрессии, была минимальной:
(Y-Xb)(Y-Xb)Т → min
Решением этой задачи является вектор b = (XТX)-1XТY.
Полученная оценка параметров модели должна быть несмещенной, состоятельной и эффективной, то есть иметь наименьшее рассеяние относительно оцениваемого параметра. По теореме Гаусса-Маркова при выполнении предпосылок регрессионного анализа оценка метода наименьших квадратов b = (XТX)-1XТY является наиболее эффективной, то есть обладает наименьшей дисперсией в классе линейных несмещенных оценок.
Оценка адекватности модели множественной регрессии.
Одной из наиболее эффективных оценок адекватности модели является коэффициент детерминации R2, определяемый формулой:
.
Коэффициент детерминации характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных. Чем ближе R2 к единице, тем лучше построенная регрессионная модель описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменной.
Следует иметь в виду, что при включении в модель новой объясняющей переменной, коэффициент детерминации увеличивается, хотя это и не обязательно означает улучшение качества регрессионной модели. В этой связи лучше использовать скорректированный (поправленный) коэффициент детерминации 
, рассчитываемый по формуле:
,
где n – число наблюдений,
m – число параметров при переменных x.
Из формулы следует, что с включением в модель дополнительных переменных разница между значениями и R2 увеличивается. Таким образом, скорректированный коэффициент детерминации может уменьшаться при добавлении в модель новой объясняющей переменной, не оказывающей существенного влияния на результативный признак.
Но использование только коэффициента детерминации для выбора наилучшего уравнения регрессии может оказаться недостаточным.
Средняя относительная ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:
.
Значимость уравнения регрессии в целом сводится к проверке гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при факторных признаках, т.е. гипотезы:
Н0: b1 = b2 =…= bm =0.
Если данная гипотеза не отклоняется, то делается вывод о том, что совокупное влияние всех факторных признаков х1, х2,… хm, включенных в модель, на зависимую переменную y можно считать статистически несущественным. Проверка данной гипотезы осуществляется на основе дисперсионного анализа.
Основной идеей дисперсионного анализа является разложение общей суммы квадратов отклонений результативной переменной y от среднего значения 
на «объясненную» и «остаточную»:
.
| Общая сумма квадратов отклонений | Сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией | Остаточная сумма квадратов отклонений |
Для приведения дисперсий к сопоставимому виду, определяют дисперсии на одну степень свободы. Результаты вычислений заносят в специальную таблицу дисперсионного анализа:
| Компоненты дисперсии | Сумма квадратов | Число степеней свободы | Оценка дисперсии на одну степень свободы |
| Объясненная | 
| m | 
|
| Остаточная | 
| n – m – 1 | 
|
| Общая | 
| n – 1 | - |
В данной таблице n – число наблюдений, m – число параметров при переменных x.
Сравнивая полученные оценки объясненной и остаточной дисперсии на одну степень свободы, определяют значение F-критерия Фишера, используемого для оценки значимости уравнения регрессии:
.
С помощью F-критерия проверяется нулевая гипотеза о равенстве дисперсий Н0: sR2 = s2.
Если нулевая гипотеза справедлива, то объясненная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для того, чтобы уравнение регрессии было значимо в целом (гипотеза Н0 была опровергнута) необходимо, чтобы объясненная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Критическое значение F-критерия определяется по таблице Фишера-Снедекора.
Расчетное значение сравнивается с табличным, и если оно превышает табличное (Fрасч >Fтабл), то гипотеза Н0 отвергается, и уравнение регрессии признается значимым.
Если Fрасч <Fтабл, то уравнение регрессии считается статистически незначимым. Нулевая гипотеза Н0 не может быть отклонена.
Расчетное значение F-критерия связано с коэффициентом детерминации R2
следующим соотношением:
,
где m – число параметров при переменных x;
n – число наблюдений.
Оценка значимости коэффициентов регрессии сводится к проверке гипотезы о
равенстве нулю коэффициента регрессии при соответствующем факторном признаке,
т.е. гипотезы:
Н0: bj =0.
Проверка гипотезы проводится с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение t-критерия:
,
где bj – коэффициент регрессии при xi;
– средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии bj.
сравнивается с табличным tтабл при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы (n-2).
Если расчетное значение превышает табличное, то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.
Рассмотрим интерпретацию параметров модели линейной множественной регрессии. В линейной модели множественной регрессии 
=b0 + b1∙x1 + … + bm∙xm коэффициенты регрессии bj характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.
На практике часто бывает необходимо сравнить влияние на зависимую переменную различных объясняющих переменных, когда последние выражаются разными единицами измерения. В этом случае используют стандартизованные коэффициенты регрессии βj и коэффициенты эластичности Эj (j=1, 2, …, m).
Уравнение регрессии в стандартизованной форме:
,
где 
, 
– стандартизованные переменные.
В результате такого нормирования средние значения всех стандартизованных переменных равны нулю, а дисперсии равны единице, т.е. 
= 
=…= 
=0, 
= 
=…= 
=1.
Коэффициенты «чистой» регрессии связаны со стандартизованными коэффициентами следующим соотношением: 
.
Стандартизованные коэффициенты показывают, на сколько стандартных отклонений (сигм) изменится в среднем результат, если соответствующий фактор xi изменится на одно стандартное отклонение (одну сигму) при неизменном среднем уровне других факторов. Сравнивая стандартизованные коэффициенты друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.
Средние коэффициенты эластичности вычисляются по формуле:
.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов (от средней) изменится в среднем Y при увеличении только фактора Xj на 1%.
Рассмотрим пример построения модели множественной регрессии с помощью средств приложения Microsoft Excel.
Пример 1. По данным, представленным в таблице 2, изучается зависимость балансовой прибыли предприятия торговли 
(тыс. руб.) от следующих факторов:
- объем товарных запасов, тыс. руб.;
- фонд оплаты труда, тыс. руб.;
- издержки обращения, тыс. руб.;
- объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.
Таблица 2
| Месяц | Y | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 |
| 41321,57 | 300284,10 | 19321,80 | 42344,92 | 100340,02 | |
| 40404,27 | 494107,21 | 20577,92 | 49000,43 | 90001,35 | |
| 37222,12 | 928388,75 | 24824,91 | 50314,52 | 29301,98 | |
| 37000,80 | 724949,11 | 28324,87 | 48216,41 | 11577,42 | |
| 29424,84 | 730855,33 | 21984,07 | 3301,30 | 34209,84 | |
| 20348,19 | 2799881,13 | 11000,02 | 21284,21 | 29300,00 | |
| 11847,11 | 1824351,20 | 4328,94 | 28407,82 | 19531,92 | |
| 14320,64 | 1624500,80 | 7779,41 | 40116,00 | 17343,20 | |
| 18239,46 | 1115300,93 | 18344,11 | 32204,98 | 4391,00 | |
| 22901,52 | 1200947,52 | 20937,31 | 30105,29 | 14993,25 | |
| 27391,92 | 1117850,93 | 27344,30 | 40294,40 | 104300,00 | |
| 44808,37 | 1379590,02 | 31939,52 | 42239,79 | 119804,33 | |
| 40629,28 | 588365,77 | 29428,60 | 55584,35 | 155515,15 | |
| 31324,80 | 434281,91 | 30375,82 | 49888,17 | 60763,19 | |
| 34847,92 | 1428243,59 | 33000,94 | 59866,55 | 8763,25 | |
| 33241,32 | 1412181,59 | 31322,60 | 49975,79 | 4345,42 | |
| 29971,34 | 1448274,10 | 20971,82 | 3669,92 | 48382,15 | |
| 17114,90 | 4074616,71 | 11324,93 | 26032,95 | 10168,00 | |
| 8944,94 | 1874298,99 | 8341,52 | 29327,21 | 22874,40 | |
| 17499,58 | 1525436,47 | 10481,14 | 40510,01 | 29603,05 | |
| 19244,80 | 1212238,89 | 18329,90 | 37444,69 | 16605,16 | |
| 34958,32 | 1154327,22 | 29881,52 | 36427,22 | 32124,63 | |
| 44900,83 | 1173125,03 | 34928,60 | 51485,62 | 200485,00 | |
| 57300,25 | 1435664,93 | 41824,92 | 49959,92 | 88558,62 |
Задание:
1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной
регрессии.
2. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.
3. Выделите значимые и незначимые факторы в модели.
4. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.
Решение.
Для получения отчета по построению модели в среде EXCEL необходимо выполнить следующие действия:
1. В меню Сервис выбираем строку Анализ данных. На экране появится окно
Рис. 1.
2. В появившемся окне выбираем пункт Регрессия. Появляется диалоговое окно, в котором задаем необходимые параметры (рис. 2).
Рис. 2.
3. Диалоговое окно рис. 2 заполняется следующим образом:
Входной интервал – диапазон (столбец), содержащий данные со значениями объясняемой переменной;
Входной интервал 
– диапазон (столбцы), содержащий данные со значениями объясняющих переменных.
Метки – флажок, который указывает, содержат ли первые элементы отмеченных диапазонов названия переменных (столбцов) или нет;
Константа-ноль - флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении регрессии ( 
);
Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона, в котором будет сохранен отчет по построению модели;
Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа,
в котором будет сохранен отчет.
Если необходимо получить значения и графики остатков ( 
), установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Нажмите на кнопку OK.
Вид отчета о результатах регрессионного анализа представлен на рис. 3.
Рис. 3.
Рассмотрим таблицу "Регрессионная статистика".
Множественный R – это 
, где 
– коэффициент детерминации.
R-квадрат – это 
. В нашем примере значение = 0,8178 свидетельствует о том, что изменения зависимой переменной (балансовой прибыли) в основном (на 81,78%) можно объяснить изменениями включенных в модель объясняющих переменных – Х1, Х2, Х3, Х4. Такое значение свидетельствует об адекватности модели.
Нормированный R-квадрат – поправленный (скорректированный по числу степеней свободы) коэффициент детерминации.
Стандартная ошибка регрессии 
, где 
– необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии); n – число
наблюдений (в нашем примере равно 24), m – число объясняющих переменных (в нашем примере равно 4).
Наблюдения – число наблюдений n.
Рассмотрим таблицу с результатами дисперсионного анализа.
df – degrees of freedom – число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант (m+1).
SS – sum of squares – сумма квадратов (регрессионная (RSS –regression sum of squares), остаточная (ESS – error sum of squares) и общая (TSS – total sum of squares), соответственно).
MS – mean sum - сумма квадратов на одну степень свободы.
F - расчетное значение F-критерия Фишера. Если нет табличного значения, то для проверки значимости уравнения регрессии в целом можно посмотреть Значимость F. На уровне значимости 
уравнение регрессии признается значимым в целом, если Значимость 
, и незначимым, если Значимость 
.
Для нашего примера имеем следующие значения:
| df | SS | MS | F | Значи-мость F | |
| Регрессия | m = 4 |
 2,82Е+09
|  7,04Е+08
| 
= 21,32
| 8,28Е-07 |
| Остаток | n– m–1=19 |
 6,27Е+08
|  3,30Е+07
| ||
| Итого | n – 1 = 23 |  3,44Е+09
|
В нашем случае расчетное значение F-критерия Фишера составляет 21,32. Значимость F = 8,28Е-07, что меньше 0,05. Таким образом, полученное уравнение в целом значимо.
В последней таблице приведены значения параметров (коэффициентов) модели, их стандартные ошибки и расчетные значения t-критерия Стьюдента для оценки значимости отдельных параметров модели.
| Коэффи-циенты | Стандартная ошибка | t- статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
| Y | b0 = = 7825,51 |  5350,78
| 
=7825,51/5350,78==1,4625
| 0,1599 | -3373,80  19024,83
| |
| Х1 | b1 = = -0,00098 |  0,00172
|  -0,569
| 0,5762 | -0,0046  0,0026
| |
| Х2 | b2 = = 0,8806 |  0,15891
|  5,5417
| 0,00002 | 0,5480  1,2132
| |
| Х3 | b3 = 0,0094 |  0,09754
|  0,0961
| 0,9244 | -0,1948  0,2135
| |
| Х4 | b4 = 0,0617 |  0,02647
|  2,3312
| 0,0309 | 0,0063  0,1171
|
Анализ таблицы для рассматриваемого примера позволяет сделать вывод о том, что на уровне значимости значимыми оказываются лишь коэффициенты при факторах Х2 и Х4. , так как только для них Р-значение меньше 0,05. Таким образом, факторы Х1 и Х3. не существенны, и их включение в модель нецелесообразно.
Поскольку коэффициент регрессии в эконометрических исследованиях имеют четкую экономическую интерпретацию, то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, как например, -0,1948 0,2135. Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть. Это также подтверждает вывод о статистической незначимости коэффициентов регрессии при факторах Х1 и Х3.
Исключим несущественные факторы Х1 и Х3 и построим уравнение зависимости (балансовой прибыли) от объясняющих переменных Х2, и Х4. Результаты регрессионного анализа приведены в таблице 3.
Таблица 3
| ВЫВОД ИТОГОВ | ||||||
| Регрессионная статистика | ||||||
| Множественный R | 0,9024465 | |||||
| R-квадрат | 0,8144098 | |||||
| Нормированный R-квадрат | 0,7967345 | |||||
| Стандартная ошибка | 5515,53984 | |||||
| Наблюдения | ||||||
| Дисперсионный анализ | ||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | ||
| Регрессия | 46,076253 | 2,08847E-08 | ||||
| Остаток | 638844774,1 | 30421179,72 | ||||
| Итого | ||||||
| Коэффици-енты | Стандартная ошибка | t- статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
| Y-пересечение | 5933,1025 | 2844,611998 | 2,085733487 | 0,0493883 | 17,40698 | 11848,798 |
| Х2 | 0,9162546 | 0,132496978 | 6,915286693 | 7,834E-07 | 0,640712 | 1,1917972 |
| Х4 | 0,0645183 | 0,024940789 | 2,58686011 | 0,0172036 | 0,012651 | 0,1163856 |
Оценим точность и адекватность полученной модели.
Значение = 0,8144 свидетельствует о том, что вариация зависимой переменной (балансовой прибыли) по-прежнему в основном (на 81,44%) можно объяснить вариацией включенных в модель объясняющих переменных – Х2, и Х4. Это свидетельствует об адекватности модели.
Значение поправленного коэффициента детерминации (0,7967) возросло по сравнению с первой моделью, в которую были включены все объясняющие переменные (0,7794).
Стандартная ошибка регрессии во втором случае меньше, чем в первом
(5515 < 5745).
Расчетное значение F-критерия Фишера составляет 46,08. Значимость F = 2,08847E-08, что меньше 0,05. Таким образом, полученное уравнение в целом значимо.
Далее оценим значимость отдельных параметров построенной модели. Из таблицы 3 видно, что теперь на уровне значимости 
все включенные в модель факторы являются значимыми: Р-значение < 0,05.
Границы доверительного интервала для коэффициентов регрессии не содержат противоречивых результатов:
- с надежностью 0,95 (c вероятностью 95%) коэффициент b1 лежит в интервале 0,64 ≤ b1 ≤ 1,19;
- с надежностью 0,95 (c вероятностью 95%) коэффициент b2 лежит в интервале 0,01 ≤ b2 ≤ 0,12
Таким образом, модель балансовой прибыли предприятия торговли запишется в следующем виде:
Рассмотрим теперь экономическую интерпретацию параметров модели.
Коэффициент b1 = 0,916, означает, что при увеличении только фонда оплаты труда (Х2) на 1 тыс. руб. балансовая прибыль в среднем возрастает на 0,916 тыс. руб., а то, что коэффициент b2 = 0,065, означает, что увеличение только объема продаж по безналичному расчету (Х4) на 1 тыс. руб. приводит в среднем к увеличению балансовой прибыли на 0,065 тыс. руб. Как было отмечено выше, анализ P-значений показывает, что оба коэффициента значимы.¨
При эконометрическом моделировании реальных экономических процессов предпосылки КЛММР нередко оказываются нарушенными: дисперсии остатков модели не одинаковы (гетероскедастичность остатков), или наблюдается корреляция между остатками в разные моменты времени (автокоррелированные остатки). Тогда предпосылка 3 запишется следующим образом:
3. М(εεТ)=Ω, где Ω – положительно определенная матрица.
Принимая, что дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными, мы получаем обобщенную линейную модель множественной регрессии (ОЛММР).
В этом случае оценка параметров модели методом наименьших квадратов даст неэффективную оценку, поэтому следует применять обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).
Теорема Айткена. В классе линейных несмещенных оценок вектора β для обобщенной регрессионной модели оценка b* =(XТΩ-1X)-1XТΩ-1Y имеет наименьшую ковариационную матрицу.
Если модель гетероскедастична, то матрица Ω – диагональная. Тогда имеем:
b* =(XТΩX)-1XТΩY.
В этом случае обобщенный метод наименьших квадратов называется взвешенным методом наименьших квадратов, поскольку мы «взвешиваем» каждое наблюдение с помощью коэффициента 1/σi.
На практике, однако, значения σi почти никогда не бывают известны. Поэтому сначала находят оценку вектора параметров обычным методом наименьших квадратов. Затем находят регрессию квадратов остатков на квадратичные функции объясняющих переменных, т.е. уравнение
е2i =f(xi) + ui, i = 1, …, n,
где f(xi) – квадратичная функция.
Далее по полученному уравнению рассчитывают теоретические значения 
и определяют набор весов 
. Затем вводят новые переменные Y*i = Y/σi, X*ji = Xji/σi, (j = 1,…,m; i = 1,…, n) и находят уравнение 
. Полученная оценка и есть оценка взвешенного метода наименьших квадратов.
Проверить модель на гетероскедастичность можно с помощью следующих тестов: ранговой корреляции Спирмена; Голдфельда-Квандта; Уайта; Глейзера.
Рассмотрим тест на гетероскедастичность, применяемый в случае, если ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными величинами, – тест Голдфельда-Квандта.
Все n наблюдений упорядочиваются в порядке возрастания значений фактора X. Затем выбираются m первых и m последних наблюдений.
Гипотеза о гомоскедастичности равносильна тому, что значения остатков e1,…,em и en-m+1,…,en представляют собой выборочные наблюдения нормально распределенных случайных величин, имеющих одинаковые дисперсии.
Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей проверяется с помощью F-критерия Фишера.
Расчетное значение вычисляется по формуле (в числителе всегда бо́льшая сумма квадратов):
.
Гипотеза о равенстве дисперсий двух наборов по m наблюдений (т.е. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков) отвергается, если расчетное значение превышает табличное F >Fα;m-p;m-p, где p – число регрессоров.
Мощность теста (вероятность отвергнуть гипотезу об отсутствии гетероскедастичности, когда гетероскедастичности действительно нет) максимальна, если выбирать m порядка n/3.
Тест Голдфельда-Квандта позволяет выявить факт наличия гетероскедастичности, но не позволяет описать характер зависимостей дисперсий ошибок регрессии количественно.
Если прослеживается влияние результатов предыдущих наблюдений на результаты последующих, случайные величины (ошибки) εi в регрессионной модели не оказываются независимыми. Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции.
Как правило, если автокорреляция присутствует, то наибольшее влияние на последующее наблюдение оказывает результат предыдущего наблюдения. Наличие автокорреляции между соседними уровнями ряда можно определить с помощью теста Дарбина-Уотсона. Расчетное значение определяется по следующей формуле:
.
Затем по таблицам находятся пороговые значения dв и dн. Если расчетное значение:
- dв< d <4-dв, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);
- dн< d <dв, или 4-dв< d <4-dн, то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (расчетное значение попадает в зону неопределенности);
- 0< d <dн, то принимается альтернативная гипотеза о наличии положительной автокорреляции;
- 4-dн< d <4, то принимается альтернативная гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции.
Недостаток теста Дарбина-Уотсона заключается прежде всего в том, что он содержит зоны неопределенности. Во-вторых, он позволяет выявить наличие автокорреляции только между соседними уровнями, тогда как автокорреляция может существовать и между более отдаленными наблюдениями.
Поэтому наряду с тестом Дарбина-Уотсона для проверки наличия автокорреляции используются тест серий (Бреуша-Годфри), Q-тест Льюинга-Бокса и другие.
Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является построение авторегрессионных моделей.
Пример 2. Рассмотрим полученную в предыдущем примере модель зависимости балансовой прибыли предприятия торговли 
(тыс. руб.) от следующих переменных:
- фонд оплаты труда, тыс. руб.;
- объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.
Задание: Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.
Решение.
Для выполнения этого задания снова воспользуемся "Пакетом анализа", встроенным в EXCEL.
В соответствии со схемой теста Голдфельда-Квандта упорядочим данные по возрастанию переменной Х4, предполагая, что дисперсии ошибок зависят от величины этой переменной.
В нашем примере m = n/3 = 8.
Результаты дисперсионного анализа модели множественной регрессии, построенной по первым 8 наблюдениям (после ранжирования по возрастанию переменной Х4), приведены в таблице 4.
Таблица 4
| Дисперсионный анализ | |||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
| Регрессия | 5,07E+08 | 2,53E+08 | 20,95996 | 0,003707 | |
| Остаток | ESS1 = = 6,04E+07 | 1,21Е+07 | |||
| Итого | 5,67E+08 |
Результаты дисперсионного анализа модели, построенной по последним 8 наблюдениям, приведены в таблице 5.
Таблица 5
| Дисперсионный анализ | |||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
| Регрессия | 1,77E+08 | 1,111617 | 0,398654 | ||
| Остаток | ESS2 = = 3,98E+08 | ||||
| Итого | 5,75E+08 |
Рассчитаем статистику Fрасч = ESS2/ESS1 (т.к. ESS2>ESS1). Для нашего примера
получаем: F = 3,98E+08/6,04E+07= 6,58.
Для того, чтобы узнать табличное значение, воспользуемся встроенной в EXCEL функцией FРАСПОБР(0,05;6;6) с параметрами 0,05 – заданная вероятность ошибки гипотезы 
; m-p = 8-2 = 6; m-p = 6 – параметры распределения Фишера. Данная функция находится в категории «статистических» функций.
Статистика Fрасч больше табличного значения F= FРАСПОБР(0,05;6;6) = 4,28. Следовательно, модель гетероскедастична. ¨
Пример 3. Рассмотрим полученную в примере 1 модель зависимости
балансовой прибыли предприятия торговли (тыс. руб.) от следующих переменных:
- фонд оплаты труда, тыс. руб.; - объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.
Задание: Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.
Решение.
Прежде всего, по эмпирическим данным необходимо методом наименьших квадратов построить уравнение регрессии и определить значения отклонений 
для каждого наблюдения i (i = 1, 2, …, n).
Для этого в диалоговом окне Регрессия в группе Остатки следует установить одноименный флажок Остатки.
Затем рассчитываем статистику Дарбина-Уотсона по формуле:
.
Результаты расчетов представлены в таблице 6.
Таблица 6
| ei | ei-1 | (ei - ei-1)^2 | (ei)^2 |
| 11211,00896 | 1,3E+08 | ||
| 9809,816986 | 11211,01 | 1963338,9 | 9,6E+07 |
| 6652,565001 | 9809,817 | 9968240,1 | 4,4E+07 |
| 4367,949639 | 6652,565 | 5219467,4 | 1,9E+07 |
| 1141,570741 | 4367,95 | ||
| 2445,881613 | 1141,571 | 1701226,8 | |
| 687,4294812 | 2445,882 | 3092153,9 | |
| 140,6630821 | 687,4295 | 298953,5 | 19786,1 |
| -4784,81741 | 140,6631 | 2,3E+07 | |
| -3182,828283 | -4784,82 | 2566369,2 | 1E+07 |
| -10324,78476 | -3182,83 | 1,1E+08 | |
| 1880,960336 | -10324,8 | ||
| -2301,490224 | 1880,96 | ||
| -6360,626521 | -2301,49 | 4E+07 | |
| -1887,83539 | -6360,63 | ||
| -1671,617647 | -1887,84 | 46750,112 | |
| 1701,17565 | -1671,62 | ||
| 149,2560547 | 1701,176 | 2408454,4 | 22277,4 |
| -6106,936579 | 149,2561 | 3,7E+07 | |
| 53,14551195 | -6106,94 | 2824,45 | |
| -4554,494657 | 53,14551 | 2,1E+07 | |
| -426,4897698 | -4554,49 | ||
| -5970,720141 | -426,49 | 3,6E+07 | |
| 7331,218328 | -5970,72 | 5,4E+07 | |
| СУММА: | 6,5E+08 | 6,4E+08 |
Таким образом, расчетное значение равно d = 6,5E+08/ 6,4E+08 = 1,02.
По таблице критических точек распределения Дарбина–Уотсона для заданного уровня значимости 
, числа наблюдений 
и количества объясняющих переменных m определить два значения: dн- нижняя граница и dв - верхняя граница (таблица 7).
Таблица 7
| Статистика Дарбина–Уотсона, уровень значимости 0,05 | ||||||||||
| m | ||||||||||
|
| dн | dв | dн | dв | dн | dв | dн | dв | dн | dв |
| 1,20 | 1,41 | 1,1 | 1,54 | 1,00 | 1,67 | 0,90 | 1,83 | 0,79 | 1,99 | |
| 1,22 | 1,42 | 1,13 | 1,54 | 1,03 | 1,66 | 0,93 | 1,81 | 0,83 | 1,96 | |
| 1,24 | 1,43 | 1,15 | 1,54 | 1,05 | 1,66 | 0,96 | 1,80 | 0,86 | 1,94 | |
| 1,26 | 1,44 | 1,17 | 1,54 | 1,08 | 1,66 | 0,99 | 1,79 | 0,90 | 1,92 | |
| 1,27 | 1,45 | 1,19 | 1,55 | 1,10 | 1,66 | 1,01 | 1,78 | 0,93 | 1,90 | |
| 1,29 | 1,45 | 1,21 | 1,55 | 1,12 | 1,66 | 1,04 | 1,77 | 0,95 | 1,89 |
В нашем случае модель содержит 2 объясняющие переменные (m=2), нижняя и верхняя границы равны соответственно dн = 1,19 и dв = 1,55.
Расчетное значение d-статистики лежит в интервале 0≤d≤dн. Следовательно, в ряду остатков существует положительная автокорреляция. ¨