Транспортная модель

Одной из типичных задач линейного программирования является так называемая транспортная задача. Она возникает при планировании наиболее рациональных перевозок грузов. В одних случаях это означает определение такого плана перевозок, при котором стоимость последних была минимальной, а в других – более важным является выигрыш времени. Первая задача получила название транспортной задачи по критерию стоимости, а вторая – транспортная задача по критерию времени.

Первая задача является частным случаем задачи линейного программирования и может быть решена симплексным методом.

Пусть в pпунктахотправления находится соответственноa₁, a₂, a₃…a_pединиц однородного груза, который должен быть доставленqпотребителямв количествах b₁, b₂, b₃…b_qединиц.Заданы стоимостиc_ikперевозок единицы груза изi -го пункта отправленияk–му пункту потребления.

Обозначим x_ik ³ 0(i = 1, 2…p; k = 1, 2…q)количество единиц груза, перевозимого из i-госкладаk-му потребителю;тогда переменныеx_ikдолжны удовлетворятьследующим ограничительным условиям:

1) (i = 1, 2 …p);

2) (k = 1, 2…q);

3) x_ik ³ 0

Суммарные затраты на перевозки будут равны

L = c₁₁x₁₁ + c₁₂x₁₂ + c₁₃x₁₃ + …+ c_pqx_pq.

Следовательно, требуется найтиpqпеременных x_ik,удовлетворяющих указанным условиям и минимизирующих целевую функцию.

§ Пример

В двух пунктах отправления А и В находится соответственно 150 и 90 тонн горючего. Складам №1, 2, и 3 требуется соответственно 60, 70 и 110 тонн горючего. Стоимость перевозки одной тонны горючего из пункта А на склады №1, 2 и 3 соответственно 6, 10 и 4 гривны за тонну горючего, а из пункта В – 12, 2 и 8 гривен. Составить оптимальный план перевозок горючего, чтобы общая сумма транспортных расходов была наименьшей.

Решение.

Обозначим:

x11- количество горючего, которое может быть поставлено из пункта А на склад №1;

x12 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта А на склад №2;

x13 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта А на склад №3;

x21 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта B на склад №1;

x22 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта B на склад №2;

x23 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта B на склад №3;

c₁₁ = 6 – стоимость единицы количества x₁₁ горючего, перевозимого из пункта А на склад №1;

с₁₂ = 10 - стоимость единицы количества x₁₁ горючего, перевозимого из пункта А на склад №2;

с₁₃ = 4 - стоимость единицы количества x₁₁ горючего, перевозимого из пункта А на склад №3;

с₂₁ = 12 - стоимость единицы количества x₁₁ горючего, перевозимого из пункта В на склад №1;

с₂₂ = 2 – стоимость единицы количества x₁₁ горючего, перевозимого из пункта В на склад №2;

с₂₃ = 8 - стоимость единицы количества x₁₁ горючего, перевозимого из пункта А на склад №3.

Тогда линейная функция, отражающая общую сумму транспортных расходов, имеет вид

L = c₁₁x₁₁ + c₁₂x₁₂ + c₁₃ x₁₃ + c₂₁x₂₁ + c₂₂x₂₂ + c₂₃x₂₃.

Составляем ограничивающие условия:

x₁₁ ³ 0, x₁₂ ³ 0, x₁₃ ³ 0, x₂₁ ³ 0, x₂₂ ³ 0, x₂₃ ³ 0.

 

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 150 --- уравнение, отображающее, что в пункте А находится 150 единиц горючего;

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ = 90 --- уравнение, отображающее, что в пункте B находится 90 единиц горючего;

x₁₁ + x₂₁ = 60 --- уравнение, отображающее, что на склад №1 из пунктов А и В требуется 60 единиц горючего;

x₁₂ + x₂₂ = 70 --- уравнение, отображающее, что на склад №2 из пунктов А и В требуется 70 единиц горючего;

x₁₃ + x₂₃ = 110 --- уравнение, отображающее, что на склад №3 из пунктов А и В требуется 110 единиц горючего;

Решение задачи заключается в необходимости минимизировать линейную функцию L при ограничивающих условиях.

Решим транспортную задачу используя MATHCAD.

Задаем ценовые параметры

Формируем линейную функцию

Задаем произвольные начальные условия

Блок решения

Записываем ограничивающие условия

 

 

Задаем оператор минимизации линейной формы

Находим оптимальной решение

Минимальная сумма транспортных расходов

 

Варианты индивидуальных контрольных заданий №6 (кратно 4)

1. На двух складах А и В находится по 90 тонн горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты №1, 2, 3 соответственно стоят 1, 3 и 5 гривен. Перевозка одной тонны горючего со склада В в те же пункты стоит соответственно 2, 4 и 5 гривен. В каждый пункт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего. Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортные расходы будут наименьшими.

2. В резерве трех железнодорожных станций А, В и С находятся соответственно 60, 80 и 100 вагонов. Составить оптимальный план перегона этих вагонов к четырем пунктам погрузки хлеба, если пункту №1 необходимо 40 вагонов, №2 – 60 вагонов, №3 – 80 вагонов и №4 – 60 вагонов. Стоимость перегона одного вагона со станции А в указанные пункты соответственно равна 1, 2, 3 и 4 гривны. Стоимость перегона одного вагона со станции В в указанные пункты соответственно равна 4, 3, 2 и 0 гривен. Стоимость перегона одного вагона со станции С в указанные пункты соответственно равна 0, 2, 2 и 1 гривны.

3. Завод имеет три цеха А, В и С и четыре склада №1, №2, №3, №4. Цех А производит 30 тысяч штук изделий, цех В – 40 тысяч штук изделий, цех С – 20 тысяч штук изделий. Пропускная способность складов за то же время характеризуется следующими показателями: склад №1 – 20 тысяч штук изделий, склад №2 – 30 тысяч штук изделий, склад №3 – 30 тысяч штук изделий, склад №4 – 10 тысяч штук изделий. Стоимость перевозки из цеха А соответственно в склады №1, 2, 3, 4 за одну тысячу изделий соответственно равна 20, 30, 20 и 40 гривен; стоимость перевозки из цеха В соответственно в склады №1, 2, 3, 4 равна 30, 20, 50 и 10 гривен за одну тысячу изделий; а стоимость перевозки одной тысячи изделий из цеха С в склады №1, 2, 3, 4 соответственно равна 40, 30, 20 и 60 гривен. Составить такой план перевозки изделий, при котором расходы на перевозку 90 тысяч изделий был бы наименьшим.

4. На трех складах А, В и С находится сортовое зерно соответственно 10, 15 и 25 тонн, которое надо доставить в четыре пункта: пункту №1 – 5 тонн, пункту №2 – 10 тонн, пункту №3 – 20 тонн и пункту №4 – 15 тонн. Стоимость доставки одной тонны со склада А в указанные пункты соответственно равна 8 000, 3 000, 5 000, 2 000 гривен. Стоимость доставки одной тонны со склада В в указанные пункты соответственно равна 4 000, 1 000, 6 000, 7 000 гривен. Стоимость доставки одной тонны со склада С в указанные пункты соответственно равна 1 000, 9 000, 4 000, 3 000 гривен. Составить оптимальный план перевозки зерна в четыре пункта, минимизирующий стоимость перевозок.

Литература

1.Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.

2.Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.

3.Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1999. – 402 с.

4.Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

5.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400 с.

6.Катышев П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 2002. – 208 с.

7.Сборник задач по эконометрике: Учебное пособие для студентов экономических вузов / Сост. Е.Ю. Дорохина, Л.Ф. Преснякова, Н.П. Тихомиров. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 224 с.

[1] Frisch R. Editorial. Econometrica. – 1933. – № 1. – P. 2.

[2] Более подробно смотри Приложение A.

[3] Подробнее об автокорреляции см. в разделе 4.