Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и анализ его решений
Гармонические колебания происходят в системе, свободной от потерь энергии. В этом случае полная механическая энергия колеблющейся системы сохраняется. В жизни, однако, потери энергии присутствуют всегда. Механическая энергия расходуется, как мы уже говорили, против работы диссипативных сил. Амплитуда колебаний при этом, естественно, уменьшается, а сами колебания называются затухающими. В очень важном случае не очень больших потерь энергии сила сопротивления (сила трения) пропорциональна скорости частицы, совершающей колебательное движение:
. (4.30)
Здесь r называется коэффициентом сопротивления среды.
Таким образом, при наличии сопротивления среды колебания происходят под действием двух сил – упругой (квазиупругой) и силы сопротивления. В таком случае 2-й закон Ньютона для такой системы имеет вид
. (4.31)
Последнее уравнение обычно записывают в виде
(4.32)
и называют дифференциальным уравнением затухающих колебаний. Здесь 
называют коэффициентом затухания, а 
– частота собственных колебаний системы (собственная частота) в отсутствие сил сопротивления (r=0), на что указывает нижний индекс – 0.
Уравнения типа (4.32) в математике называют однородным линейным (все производные в первой степени) дифференциальным уравнением второго порядка (старшая производная – вторая) с постоянными коэффициентами. Решением такого уравнения является функция
(4.33),
где 
– амплитуда затухающих колебаний, e – основание натурального логарифма, 
– собственная циклическая частота затухающих колебаний. На рис. 4.30 показан график функции (4.33).
В соответствии с уравнением (4.33) движение колебательной системы можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой ω и с изменяющейся по экспоненциальному закону амплитудой А(t). Начальное смещение S0 зависит как от амплитуды в начальный момент времени А0, так и от начальной фазы j0: S0=A0cosj0.
Найдём время t, за которое амплитуда уменьшается в e раз – так называемое время релаксации: 
. Следовательно, bt=1, или b=1/t, т.е. коэффициент затухания равен обратному времени релаксации.
|
, (4.34)
а натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:
(4.35)
За время релаксации система совершит Ne=t/T колебаний. С учётом этого, а также принимая во внимание, что b=1/t, получим
. (4.36)
Следовательно, логарифмический декремент затухания является величиной, обратной числу колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
Для характеристики колебательной системы также используют величину, которая называется добротностью и определяется как
. (4.37)
Из формулы (4.37) видно, что добротность пропорциональна числу колебаний, за которое амплитуда уменьшается в e раз.
Можно показать, что зависимость полной энергии 
от времени даётся выражением
, (4.38)
где 
. Продифференцировав уравнение (4.38) по времени, найдём, что скорость убывания энергии определяется как
. (4.39)
При малом затухании, когда убыль энергии за период невелика, приближённо можно считать, что
, или 
, (4.40)
откуда находим, что
. (4.41)
Таким образом, получили, что при малом затухании добротность с точностью до множителя 1/2p равна отношению энергии, запасённой к данному моменту времени, к убыли этой энергии за 1 период колебаний.
Период затухающих колебаний определяется выражением
, (4.42)
из которого следует, что по мере увеличения коэффициента затухания b период стремится к бесконечности, т. е. движение перестаёт быть периодическим. При большом затухании b > ω система, выведенная из положения равновесия, возвращается к нему, не совершив ни одного колебания. Такое движение называется апериодическим. Анализ показывает, что возможны 2 вида апериодического движения, показанные 
на рис. 4.8. Какой из видов реализуется на практике, зависит от начальных условий. Кривая 1 описывает апериодический процесс, когда систему вывели из положения равновесия и отпустили с нулевой начальной скоростью. Кривая 2 соответствует случаю, когда системе дали начальный толчок к положению равновесия. Другими словами, для случая 1 начальная скорость равна нулю, а для случая 2 она отлична от нуля.