Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и анализ его решений. Резонанс
Теперь рассмотрим случай, когда на колебательную систему действует внешняя, периодически изменяющаяся сила. Тогда в выражение, определяемое вторым законом Ньютона (4.31), в правой части добавится сила Fcoswt:
. (4.43)
Или, используя обычные обозначения, перепишем последнее уравнение в виде
. (4.44)
Здесь 
. Уравнение (4.44) – это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. В математике доказывается, что его решением является сумма общего решения однородного дифференциального уравнения (когда правая часть в уравнении (4.44) равна нулю) S1 и частного решения неоднородного уравнения S2.
S=S1+S2. (4.45)
Общее решение мы уже знаем. Оно определяется выражением (4.33):
Частное решение можно искать двумя основными путями: строго математически (причём и в этом случае возможно несколько путей) и используя физические представления. Мы пойдём вторым путём. В самом деле, опыт и здравый смысл подсказывают нам, что если на колебательную систему воздействовать периодически изменяющейся с частотой W силой, то, в конце концов, система начнёт совершать колебания с той же частотой вынуждающей силы. Колебания, происходящие под действием внешней, периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями.
Т.о., частное решение может быть записано в виде
S2=S0cos(Wt+j). (4.46)
С пока ещё неопределёнными S0 и j. Таким образом, задача нахождения частного решения свелась к определению амплитуды и фазы колебаний. Чтобы определить их, подставим решение (4.46) в исходное уравнение (4.43). В результате получим
(4.47)
Воспользовавшись тригонометрическими формулами приведения, получим
и
.
Вместо выражения (4.47) получим
(4.48)
Сумму трёх гармонических колебаний с одной и той же частотой можно изобразить графически при помощи метода векторных диаграмм. Из рис.4.9 видно, что
(4.49)
и
. (4.50)
Общее решение однородного уравнения (4.33) можно учитывать только в начальный момент времени, до тех пор, пока амплитуда установившихся колебаний не станет равной (4.49). Для времён, больших времени релаксации, амплитуда будет целиком определяться выражением (4.49). Видно, что амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы, и она будет максимальна, когда знаменатель будет минимальным. Чтобы определить условие минимума знаменателя, первую производную от него приравняем нулю:
. (4.51)
Уравнение (4.51) имеет три решения, из которых реальный физический смысл может иметь только положительная частота, при которой знаменатель в уравнении (4.49) минимален. Эта частота называется резонансной:
, (4.52)
а резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте называетсярезонансом. Зависимость амплитуды колебаний от частоты W показана на рис. 4.10. Из этого рисунка видно, что чем меньше затухание b, тем выше и острее максимум амплитуды и тем ближе резонансная частота к собственной.
Можно показать, что при малом затухании отношение максимальной амплитуды к статическому смещению (т.е. к смещению под действием постоянной силы) равно добротности колебательной системы:
. (4.53)
|