Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Физический и математический маятники

Гармонические колебания (4.3) являются решением дифференциального уравнения гармонических колебаний

, (4.18)

в чём можно убедиться непосредственной подстановкой. В самом деле,

. (4.19)

Следует также отметить, что систему, совершающую гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором.

В качестве примера гармонических колебаний рассмотрим колебания груза на пружине вдоль оси х. Эти колебания, как мы знаем, происходят под действием упругой силы F= – kx. Это уравнение можно переписать как

. (4.20)

Если в последнем уравнении обозначить , то придём к уравнению

, (4.21)

которое абсолютно подобно уравнению (4.18). На основании подобной аналогии силы, под действием которых совершаются гармонические колебания, называют квазиупругими.

Физическим маятником называют колебания твёрдого тела под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела (точку С на рис. 4.6). Отведём маятник из положения равновесия на некоторый малый угол α. Запишем теперь 2-й закона Ньютона для вращательного движения

. (4.22)

Здесь момент возвращающей силы M для малых углов α

. (4.23)

В уравнении (4.23) знак “–” отражает тот факт, что направления возвращающей силы F_t и угла α всегда противоположны.

J – момент инерции маятника относительно точки подвеса О. Объединяя выражения (4.22) и (4.23), придём к уравнению

. (4.24)

Обозначим и окончательно получим

. (4.25)

Решение последнего уравнения мы знаем:

. (4.26)

Таким образом, при малых отклонениях из положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания с частотой и периодом

, (4.27)

где называется приведенной длиной физического маятника. Точка O’, которая находится на расстоянии приведенной длины от точки подвеса, называется центром качаний физического маятника. Точка подвеса маятника О и центр качаний обладают свойством взаимности – если маятник перевернуть и подвесить за точку O’, то период колебания маятника не изменится.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на длинной тонкой нерастяжимой нити и совершающая колебания под действием силы тяжести. Момент инерции материальной точки, подвешенной на нити длиной l, относительно точки подвеса

J=ml². (4.28)

Подставим уравнение (4.199) в уравнение (4.198) и получим известную со школы формулу для периода колебаний математического маятника:

. (4.29)

Из сравнения формул (4.29) и (4.27) видно, что если приведенная длина физического маятника равна длине математического маятника, то их периоды совпадают. Т.о. приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, у которого период колебаний равен периоду физического маятника.