Сила Лоренца. Эффект Холла

 

Как известно, на проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера (1.2). Перепишем выражение для силы Ампера в несколько ином виде:

dF = I [dl,B] =jS[dl,B] =qnuS[dl,B]=qnsdl[u,B]=qndV[u,B]=qN[u,B]. (3.47)

Здесь мы учли, что I=jS; j=qnu – есть плотность тока, Sdl=dV – элемент объёма проводника, ndV=N – число электронов в этом элементе объёма. Также учли, что направления векторов uиdlсовпадают между собой, и поэтому мы имеем право в векторном произведении перенести значок вектора с элемента Idl на скорость u. Если теперь разделим обе части уравнения (3.47) на число электронов, то получим силу, действующую на движущийся электрон в магнитном поле. Эта сила называется силой Лоренца, и она равна

F = q[u,B] . (3.48)

Подчеркнём, что тот путь, которым мы получили выражение для силы Лоренца, нельзя рассматривать как вывод этой формулы. Выражение для силы Лоренца найдено экспериментально. Просто мы показали, как из одного экспериментального выражения (для силы Ампера) можно получить другое и наоборот. Но и сила Ампера и сила Лоренца представляют собой, прежде всего, экспериментально установленные законы природы. Модуль (3.48), естественно, определяется выражением

F = quBsina . (3.49)

Здесь a – угол между векторами uи B.

Так как сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы, то она работу не совершает. Она только изменяет направление скорости (оставаясь всегда перпендикулярной направлению скорости), оставляя неизменной величину скорости. Мы знаем, что движение под действием силы, всё время перпендикулярной направлению скорости и оставляющей неизменной её величину, есть движение по окружности.

Если помимо магнитного поля, имеется и электрическое, то полная сила, действующая на движущийся заряд, будет определяться как

F = q[u,B]+qE.(3.50)

Полученное выражение называют формулой Лоренца.

Можно показать, что сила магнитного взаимодействия двух движущихся со скоростью u (u<<c) относительно магнитного поля зарядов относится к силе электрического взаимодействия между ними, как

. (3.51)

Другими словами, из формулы (3.51) следует, что магнетизм исчез бы, если бы скорость света была равна бесконечности. Таким образом, магнетизм является релятивистским эффектом.

Эффектом Холла называют возникновение в проводнике, помещённом в перпендикулярное к направлению тока магнитное поле, поперечной к направлению тока разности потенциалов.

Пусть у нас есть проводник прямоугольного поперечного сечения (рис 3.11), по которому течёт ток плотностью j. Перпендикулярно направлению тока приложено магнитное поле B. На электроны, скорость которых противоположна направлению тока, будет действовать сила Лоренца. Под действием этой силы электроны будут отклоняться к верхней грани, которая, таким образом, будет заряжаться отрицательно. На нижней грани будут оставаться нескомпенсированные положительные заряды. В результате возникнет поперечное поле. В стационарном состоянии величина этого поля будет равна силе Лоренца , или . Здесь – поперечная (холловская) разность потенциалов. Так как сила тока (n, как обычно, концентрация электронов), то . Подставим полученное выражение для скорости в формулу для холловской разности потенциалов. При этом учтём, что S=ad. Окончательно получим, что

или

. (3.52)

Здесь – так называемая постоянная Холла. Таким образом, измеряя макрохарактеристики, такие как холловская разность потенциалов, сила тока в проводнике, индукция магнитного поля, а также поперечный размер проводника d, можно определить концентрацию зарядов и их знак – для положительных зарядов (дырок в полупроводниках), холловское поле будет иметь противоположный знак.