В магнитном поле
По перемещению проводника и контура с током
Теорема Гаусса для магнитного поля. Работа
Потоком вектора магнитной индукции через площадку dS называется скалярное произведение
dF = B×dS = Bn×dS. (3.37)
Здесь Bn = Bcosa – проекция вектора B на направление нормали к площадке dS. Если по контуру течёт ток, то положительное направление вектора нормали к поверхности связывают правилом правого винта с направлением тока в контуре. Таким образом, магнитный поток, создаваемый самим током контура, всегда положителен. Исходя из уравнения (3.37), полный поток через контур
F = òB×dS = òBn×dS. (3.38)
Если поле однородно по плоской поверхности, то
F = B×S. (3.39)
Из последнего соотношения следует определение единицы измерения магнитного потока, которая называется вебер (Вб): 1 Вб – это магнитный поток через 1 м2 плоской поверхности индукции магнитного поля в 1 Т при параллельном направлении индукции и вектора нормали к поверхности.
Для магнитного потока справедлива теорема Гаусса: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю
òB×dS = òBn×dS =0. (3.40)
Аналогичная теорема для вектора напряжённости электрического поля звучит так: поток вектора напряжённости электрического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключённых внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную
òEdS = Sqi/e0 . (3.41)
Таким образом, теорема Гаусса для магнитного поля отражает факт отсутствия в природе магнитных зарядов, и что линии индукции магнитного поля суть замкнутые линии. В качестве примера рассмотрим, чему равен магнитный поток, создаваемый соленоидом, через соленоид. Поскольку внутри соленоида магнитное поле однородно по сечению соленоида и совпадает с направлением нормали к одному витку, то магнитный поток через один виток будет равен (см. формулу (3.11) для магнитного поля соленоида)
. (3.42)
Магнитный поток через весь соленоид будет очевидно равен магнитному потоку через 1 виток, умноженному на число витков, и эта величина называется потокосцеплением
. (3.43)
Если проводник длиной l с током I не закреплён (участок АБ на рис.3.10), то под действием силы Ампера он будет перемещаться в магнитном поле B в направлении x. По определению, элементарная работа будет равна
dA=Fdx=IBldx=IBdS=IdФ, (3.44)
где dФ – магнитный поток через поверхность dS, прочерчиваемую проводником при его движении. Таким образом, получили, что работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока в проводнике на магнитный поток через поверхность, которую пересекает проводник при своём движении. Можно показать, что полученная формула справедлива и при произвольном направлении вектора В:
dA= IdФ. (3.45)
Выражение для работы по перемещению замкнутого контура оказывается подобным выражению (3.45) и для произвольного конечного перемещения контура в магнитном поле имеет вид
A = IDФ , (3.46)
т.е. равно произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.