Контур с током в магнитном поле
Пусть у нас имеется плоский контур с постоянным током I в однородном магнитном поле B, причём поле направлено, как показано на рис.3.9. В соответствии с законом Ампера на элемент тока действует сила
. (3.28)
Чтобы получить полную силу, действующую на контур, необходимо проинтегрировать уравнение (3.28). При этом учтём, что магнитное поле и сила тока – величины постоянные.
,
поскольку . Таким образом, получили, что результирующая сила, действующая на контур в постоянном магнитном поле, равна нулю. Продолжим наш анализ дальше.
На выделенный элемент тока слева действует сила dF1, направленная от нас, а на выделенный элемент тока справа действует сила dF2, направленная на нас. Модули этих сил равны по величине. В самом деле,
dF1=IBdl1sina1=IBdy,
dF2=IBdl2sina2=IBdy.
Мы получили, что на противоположные участки контура действуют две противоположно направленные и одинаковые по величине силы, которые создают вращательный момент:
dN=IBxdy=IBdS. (3.29)
Здесь dS=xdy – площадь заштрихованной полоски. Из рис.3.9 видно, что векторы n (единичный вектор нормали к поверхности контура – ds=ndS), B и N образуют правовинтовую систему, следовательно, можно записать, что
dN=I[n,B]dS (3.30)
и
N= òI[n,B]dS= I[n,B] ò dS = I[n,B]S = [ISn,B] = [pm ,B]. (3.31)
Здесь pm = IS n – так называемый магнитный момент контура с током. Таким образом, получили, что на контур с током в магнитном поле действует вращательный момент
N= [pm, B]. (3.32)
Модуль выражения (3.28) равен
N = pmBsina. (3.33)
Можно показать, что если направления магнитного момента и магнитного поля совпадают, то магнитные силы стремятся растянуть контур, а если магнитный момент и магнитное поле имеют противоположные направления, то магнитные силы стремятся сжать контур.
Для того чтобы увеличить угол между магнитным моментом и внешним магнитным полем на da, необходимо внешними силами совершить работу против магнитных сил, создающих вращательный момент (3.33):
dA = pmBsina× da. (3.34)
Эта работа пойдёт на увеличение механической составляющей потенциальной энергии контура с током в магнитном поле:
dWмех = pmBsina× da . (3.35)
Интегрируя и полагая константу интегрирования равной нулю (тем самым мы просто смещаем начало отсчёта потенциальной энергии), получим
Wmech = – pmBcosa = – pmB. (3.36)
Из выражения (3.36) следует, что если направления магнитного момента и магнитного поля совпадают, то потенциальная энергия будет иметь минимум и это будет положение устойчивого равновесия. Если же направления магнитного поля и магнитного момента антипараллельны, то это будет соответствовать максимуму потенциальной энергии и, следовательно, это будет положение неустойчивого равновесия.