Расчет полей бесконечно длинного соленоида и тороида
Вихревой характер магнитного поля. Закон полного тока.
Для электростатического поля мы вводили понятие циркуляции вектора напряжённости электростатического поля как
. (3.16)
Аналогично вводится циркуляция для магнитного поля:
. (3.17)
Здесь Вl=Bcosa – проекция вектора B на направление касательной к контуру, a – угол между касательной к контуру и вектором B. Посчитаем теперь циркуляцию для прямолинейного проводника с током. В качестве контура обхода выберем окружность некоторого радиуса b, в центре которой находится проводник с током. В этом случае индукция определяется выражением (3.14). Теперь, с учётом выражения (3.14), посчитаем циркуляцию (3.17). Как видно из рис. 3.7, dl=bda. Тогда
(3.18)
При вычислении интеграла мы также учли, что cosa=1. Мы получили этот результат, специальным образом выбрав контур обхода. Оказывается, этот результат остаётся справедливым для любого контура обхода. Знак уравнения (3.18) зависит только от направления обхода – если направление обхода и направление тока соответствуют правилу правого винта, то знак уравнения (3.18) будет положительным. В противном случае знак будет отрицательным. Если же контур обхода охватывает несколько токов, то, в силу принципа суперпозиции для магнитного поля, можно записать, что
. (3.19)
Каждый из интегралов в последней сумме равен m0Im. Таким образом, окончательно получим
. (3.20)
Полученное выражение называется законом полного тока для магнитного поля в вакууме и читается так: циркуляция вектора магнитной индукции в вакууме по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную.
Напомним, что для электростатического поля циркуляция вектора напряжённости равна нулю и это позволило ввести понятие потенциала для электростатического поля. Для магнитного поля циркуляция отлична от нуля и это означает, что для магнитного поля нельзя ввести понятие потенциала.
Если токи текут по всему пространству, охватываемому контуром, то 
, и тогда вместо уравнения (3.20) получим
. (3.21)
Преобразуем левую часть уравнения (3.21) по теореме Стокса:
. (3.22)
Последнее равенство в выражении (3.22) справедливо, если подинтегральные выражения одинаковы в каждой точке поверхности S:
. (3.23)
Поля, у которых ротор отличен от нуля, называются вихревыми или соленоидальными. Таким образом, магнитное поле является вихревым.
Применим закон полного тока для расчёта магнитного поля бесконечно длинного соленоида (соленоидом называют катушку с намотанным на ней проводом, по которому пропускают электрический ток). Соленоиды используют для получения магнитного поля. В реальности, модель бесконечно длинного соленоида можно использовать для реальных соленоидов, если длина соленоида много больше его диаметра. Эксперимент показывает, что магнитное поле, в основном, сосредоточено внутри соленоида. Выберем некий контур обхода АБСД (рис.3.8) и посчитаем циркуляцию вектора магнитной индукции для этого контура.
Пусть на длине AD=BC укладывается N витков. Тогда
. (3.24)
Интегралы на участках АВ и СD равны нулю, поскольку на этих участках Bl=0 (угол между векторами B и dl равен 90o). На участке DA магнитное поле равно нулю (для конечного соленоида поле вне его, конечно же, будет, но очень слабым, поэтому им можно пренебречь). Таким образом, вместо выражения (3.24) получим
. (3.25)
Теперь вспомним, что поле внутри соленоида постоянное и его можно вынести за знак интеграла. Оставшийся интеграл даст длину участка ВС=l. Следовательно, для поля внутри соленоида окончательно получим
. (3.26)
Здесь n = N/l – число витков, приходящееся на единицу длины. Важное место в технике занимает также тороид – кольцевая катушка с навитым на ней проводом. Как показывает опыт, поле полностью сосредоточено внутри катушки, поэтому выберем контур обхода, проходящий внутри катушки. Очевидно, что это будет окружность радиуса r. Если в катушке N витков, то для поля внутри тороида получим
. (3.27)
Из выражений (3.26) и (3.27) видно, что формулы для тороида и бесконечно длинного соленоида одинаковы. И это неудивительно, если вспомнить, что бесконечно длинный соленоид можно представить как тороид с бесконечно большими радиусами.