Объемные и поверхностные заряды диэлектрика. Вектор электрического смещения

Если диэлектрик поместить в электрическое поле, то на границах, а в некоторых случаях и в объёме, появляются некомпенсированные связанные заряды. На рис. 1.8 схематически показан неполярный (а) и полярный (б) диэлектрики в электрическом поле.

Можно показать, что поверхностная плотность связанных зарядов

s¢ = P_n , (1.45)

где P_n – проекция поляризованности на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика (рис. 1.9). Также можно показать, что объёмная плотность связанных зарядов определяется выражением

r¢ = -ÑP . (1.46)

Другими словами, объёмная плотность связанных зарядов равна взятой с обратным знаком дивергенции поляризованности диэлектрика. Рис. 1.10 помогает понять смысл выражения (1.46). Точки, в которых дивергенция поляризованности больше нуля, служат источниками вектора поляризованности – из этих точек линии Р расходятся. Это значит, что в этих точках появляется некомпенсированный отрицательный связанный заряд.

Электрическое поле может создаваться как сторонними, так и связанными зарядами. Это означает, что можно записать

_.(1.47)

С учётом выражения (1.46)

откуда следует, что

. (1.48)

Выражение в скобках (1.48) называют вектором электрического смещения или электрической индукцией D.

D = e₀E+P . (1.49)

С учётом выражения (1.42), получим

D = e₀E+e₀cE = e₀(1+c)E =e₀e E, (1.50)

где e =1+c – называется (относительной) диэлектрической проницаемостью среды.

Из уравнения (1.50) следует, что вектор D совпадает по направлению с вектором E. Это справедливо только для изотропных сред. В общем случае, для анизотропных диэлектриков, векторы D и E неколлинеарные.

В соответствии с формулами (1.48) и (1.49) получили, что источниками вектора электрической индукции могут быть только сторонние заряды:

. (1.51)

Проинтегрируем уравнение (1.51) по некоторому объёму V:

Выражение слева на основании теоремы Остроградского-Гаусса равно потоку вектора электрического смещения через поверхность, ограничивающую объём V:

а интеграл от плотности зарядов по объёму можно заменить суммой заключённых в этом объёме зарядов:

Приравнивая правые части последних двух равенств, получим теорему Гаусса для электрического смещения: поток электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых внутри этой поверхности сторонних зарядов.

. (1.52)

Подчеркнём, что вектор D – вспомогательный вектор, описывающий электрическое поле. Основной характеристикой является напряжённость электрического поля.